Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103823 / 99541
↖ ↑ ↗
← S 67.831019°
E105.158386°		 ← 115.23 m → S 67.831019°
E105.161133°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.832055°
E105.158386°		 ← 115.22 m →
13 272 m²		 S 67.832055°
E105.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792110443115234 y=0.759441375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792110443115234 × 217)
    floor (0.792110443115234 × 131072)
    floor (103823.5)     		tx = 103823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759441375732422 × 217)
    floor (0.759441375732422 × 131072)
    floor (99541.5)     		ty = 99541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103823 / 99541 ti = "17/103823/99541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103823/99541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103823 ÷ 217
    103823 ÷ 131072     		x = 0.792106628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99541 ÷ 217
    99541 ÷ 131072     		y = 0.759437561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792106628417969 × 2 - 1) × π
    0.584213256835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.83536008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759437561035156 × 2 - 1) × π
    -0.518875122070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63009427158001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83536008} λ = 1.83536008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63009427158001))-π/2
    2×atan(0.195911104406984)-π/2
    2×0.193460855801306-π/2
    0.386921711602613-1.57079632675     		φ = -1.18387462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83536008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.158386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18387462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.831019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103823 KachelY 99541 1.83536008 -1.18387462 105.158386 -67.831019
    Oben rechts KachelX + 1 103824 KachelY 99541 1.83540801 -1.18387462 105.161133 -67.831019
    Unten links KachelX 103823 KachelY + 1 99542 1.83536008 -1.18389270 105.158386 -67.832055
    Unten rechts KachelX + 1 103824 KachelY + 1 99542 1.83540801 -1.18389270 105.161133 -67.832055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18387462--1.18389270) × R
    1.80799999998094e-05 × 6371000     		dl = 115.187679998785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18387462--1.18389270) × R
    1.80799999998094e-05 × 6371000     		dr = 115.187679998785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83536008-1.83540801) × cos(-1.18387462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377339477035196 × 6371000     		do = 115.225148706676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83536008-1.83540801) × cos(-1.18389270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377322733537392 × 6371000     		du = 115.220035878198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18387462)-sin(-1.18389270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377339477035196-0.377322733537392)×R²
    abs(1.83540801-1.83536008)×1.67434978037284e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67434978037284e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67434978037284e-05×40589641000000     		ar = 13272.2230899933m²