Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103822 / 99538
↖ ↑ ↗
← S 67.827910°
E105.155640°		 ← 115.26 m → S 67.827910°
E105.158386°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
S 67.828946°
E105.155640°		 ← 115.26 m →
13 284 m²		 S 67.828946°
E105.158386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792102813720703 y=0.759418487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792102813720703 × 217)
    floor (0.792102813720703 × 131072)
    floor (103822.5)     		tx = 103822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759418487548828 × 217)
    floor (0.759418487548828 × 131072)
    floor (99538.5)     		ty = 99538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103822 / 99538 ti = "17/103822/99538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103822/99538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103822 ÷ 217
    103822 ÷ 131072     		x = 0.792098999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99538 ÷ 217
    99538 ÷ 131072     		y = 0.759414672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792098999023438 × 2 - 1) × π
    0.584197998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83531214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759414672851562 × 2 - 1) × π
    -0.518829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62995046088115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83531214} λ = 1.83531214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62995046088115))-π/2
    2×atan(0.19593928054579)-π/2
    2×0.193487990335405-π/2
    0.38697598067081-1.57079632675     		φ = -1.18382035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83531214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.155640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18382035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.827910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103822 KachelY 99538 1.83531214 -1.18382035 105.155640 -67.827910
    Oben rechts KachelX + 1 103823 KachelY 99538 1.83536008 -1.18382035 105.158386 -67.827910
    Unten links KachelX 103822 KachelY + 1 99539 1.83531214 -1.18383844 105.155640 -67.828946
    Unten rechts KachelX + 1 103823 KachelY + 1 99539 1.83536008 -1.18383844 105.158386 -67.828946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18382035--1.18383844) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18382035--1.18383844) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83531214-1.83536008) × cos(-1.18382035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377389734570139 × 6371000     		do = 115.264538949413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83531214-1.83536008) × cos(-1.18383844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377372982181984 × 6371000     		du = 115.259422338864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18382035)-sin(-1.18383844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377389734570139-0.377372982181984)×R²
    abs(1.83536008-1.83531214)×1.67523881549059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67523881549059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67523881549059e-05×40589641000000     		ar = 13284.1034836889m²