Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103821 / 99212
↖ ↑ ↗
← S 67.487545°
E105.152893°		 ← 116.94 m → S 67.487545°
E105.155640°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.488597°
E105.152893°		 ← 116.94 m →
13 671 m²		 S 67.488597°
E105.155640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792095184326172 y=0.756931304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792095184326172 × 217)
    floor (0.792095184326172 × 131072)
    floor (103821.5)     		tx = 103821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756931304931641 × 217)
    floor (0.756931304931641 × 131072)
    floor (99212.5)     		ty = 99212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103821 / 99212 ti = "17/103821/99212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103821/99212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103821 ÷ 217
    103821 ÷ 131072     		x = 0.792091369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99212 ÷ 217
    99212 ÷ 131072     		y = 0.756927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792091369628906 × 2 - 1) × π
    0.584182739257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.83526420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.51385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61432303160501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83526420} λ = 1.83526420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61432303160501))-π/2
    2×atan(0.199025358723478)-π/2
    2×0.196458229365956-π/2
    0.392916458731912-1.57079632675     		φ = -1.17787987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83526420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.152893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17787987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.487545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103821 KachelY 99212 1.83526420 -1.17787987 105.152893 -67.487545
    Oben rechts KachelX + 1 103822 KachelY 99212 1.83531214 -1.17787987 105.155640 -67.487545
    Unten links KachelX 103821 KachelY + 1 99213 1.83526420 -1.17789822 105.152893 -67.488597
    Unten rechts KachelX + 1 103822 KachelY + 1 99213 1.83531214 -1.17789822 105.155640 -67.488597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17787987--1.17789822) × R
    1.83500000001668e-05 × 6371000     		dl = 116.907850001063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17787987--1.17789822) × R
    1.83500000001668e-05 × 6371000     		dr = 116.907850001063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83526420-1.83531214) × cos(-1.17787987) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382884251724474 × 6371000     		do = 116.942705917759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83526420-1.83531214) × cos(-1.17789822) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382867299997451 × 6371000     		du = 116.937528423988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17787987)-sin(-1.17789822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382884251724474-0.382867299997451)×R²
    abs(1.83531214-1.83526420)×1.69517270228181e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69517270228181e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69517270228181e-05×40589641000000     		ar = 13671.217677643m²