Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103820 / 98006
↖ ↑ ↗
← S 66.184921°
E105.150147°		 ← 123.30 m → S 66.184921°
E105.152893°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.186030°
E105.150147°		 ← 123.30 m →
15 200 m²		 S 66.186030°
E105.152893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792087554931641 y=0.747730255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792087554931641 × 217)
    floor (0.792087554931641 × 131072)
    floor (103820.5)     		tx = 103820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747730255126953 × 217)
    floor (0.747730255126953 × 131072)
    floor (98006.5)     		ty = 98006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103820 / 98006 ti = "17/103820/98006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103820/98006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103820 ÷ 217
    103820 ÷ 131072     		x = 0.792083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98006 ÷ 217
    98006 ÷ 131072     		y = 0.747726440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792083740234375 × 2 - 1) × π
    0.58416748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83521627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747726440429688 × 2 - 1) × π
    -0.495452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55651113066322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83521627} λ = 1.83521627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55651113066322))-π/2
    2×atan(0.210870488894857)-π/2
    2×0.207825769848007-π/2
    0.415651539696015-1.57079632675     		φ = -1.15514479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83521627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.150147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15514479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.184921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103820 KachelY 98006 1.83521627 -1.15514479 105.150147 -66.184921
    Oben rechts KachelX + 1 103821 KachelY 98006 1.83526420 -1.15514479 105.152893 -66.184921
    Unten links KachelX 103820 KachelY + 1 98007 1.83521627 -1.15516414 105.150147 -66.186030
    Unten rechts KachelX + 1 103821 KachelY + 1 98007 1.83526420 -1.15516414 105.152893 -66.186030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15514479--1.15516414) × R
    1.93499999998625e-05 × 6371000     		dl = 123.278849999124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15514479--1.15516414) × R
    1.93499999998625e-05 × 6371000     		dr = 123.278849999124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83521627-1.83526420) × cos(-1.15514479) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403786076720757 × 6371000     		do = 123.30093607269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83521627-1.83526420) × cos(-1.15516414) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403768374231232 × 6371000     		du = 123.295530404553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15514479)-sin(-1.15516414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403786076720757-0.403768374231232)×R²
    abs(1.83526420-1.83521627)×1.77024895245403e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77024895245403e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77024895245403e-05×40589641000000     		ar = 15200.0644011378m²