Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103815 / 99719
↖ ↑ ↗
← S 68.014770°
E105.136414°		 ← 114.34 m → S 68.014770°
E105.139160°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.015798°
E105.136414°		 ← 114.34 m →
13 076 m²		 S 68.015798°
E105.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792049407958984 y=0.760799407958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792049407958984 × 217)
    floor (0.792049407958984 × 131072)
    floor (103815.5)     		tx = 103815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760799407958984 × 217)
    floor (0.760799407958984 × 131072)
    floor (99719.5)     		ty = 99719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103815 / 99719 ti = "17/103815/99719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103815/99719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103815 ÷ 217
    103815 ÷ 131072     		x = 0.792045593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99719 ÷ 217
    99719 ÷ 131072     		y = 0.760795593261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792045593261719 × 2 - 1) × π
    0.584091186523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.83497658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760795593261719 × 2 - 1) × π
    -0.521591186523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.63862703971238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83497658} λ = 1.83497658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63862703971238))-π/2
    2×atan(0.194246552097374)-π/2
    2×0.191857327286687-π/2
    0.383714654573374-1.57079632675     		φ = -1.18708167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83497658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.136414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18708167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.014770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103815 KachelY 99719 1.83497658 -1.18708167 105.136414 -68.014770
    Oben rechts KachelX + 1 103816 KachelY 99719 1.83502452 -1.18708167 105.139160 -68.014770
    Unten links KachelX 103815 KachelY + 1 99720 1.83497658 -1.18709962 105.136414 -68.015798
    Unten rechts KachelX + 1 103816 KachelY + 1 99720 1.83502452 -1.18709962 105.139160 -68.015798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18708167--1.18709962) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18708167--1.18709962) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83497658-1.83502452) × cos(-1.18708167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374367572775652 × 6371000     		do = 114.341492946932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83497658-1.83502452) × cos(-1.18709962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374350928032353 × 6371000     		du = 114.336409213893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18708167)-sin(-1.18709962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374367572775652-0.374350928032353)×R²
    abs(1.83502452-1.83497658)×1.6644743298766e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6644743298766e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6644743298766e-05×40589641000000     		ar = 13075.7395594925m²