Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103813 / 99718
↖ ↑ ↗
← S 68.013742°
E105.130921°		 ← 114.32 m → S 68.013742°
E105.133667°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.014770°
E105.130921°		 ← 114.32 m →
13 066 m²		 S 68.014770°
E105.133667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792034149169922 y=0.760791778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792034149169922 × 217)
    floor (0.792034149169922 × 131072)
    floor (103813.5)     		tx = 103813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760791778564453 × 217)
    floor (0.760791778564453 × 131072)
    floor (99718.5)     		ty = 99718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103813 / 99718 ti = "17/103813/99718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103813/99718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103813 ÷ 217
    103813 ÷ 131072     		x = 0.792030334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99718 ÷ 217
    99718 ÷ 131072     		y = 0.760787963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792030334472656 × 2 - 1) × π
    0.584060668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.83488071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760787963867188 × 2 - 1) × π
    -0.521575927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63857910281276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83488071} λ = 1.83488071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63857910281276))-π/2
    2×atan(0.194255863898031)-π/2
    2×0.191866300496448-π/2
    0.383732600992897-1.57079632675     		φ = -1.18706373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83488071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.130921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18706373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.013742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103813 KachelY 99718 1.83488071 -1.18706373 105.130921 -68.013742
    Oben rechts KachelX + 1 103814 KachelY 99718 1.83492864 -1.18706373 105.133667 -68.013742
    Unten links KachelX 103813 KachelY + 1 99719 1.83488071 -1.18708167 105.130921 -68.014770
    Unten rechts KachelX + 1 103814 KachelY + 1 99719 1.83492864 -1.18708167 105.133667 -68.014770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18706373--1.18708167) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18706373--1.18708167) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83488071-1.83492864) × cos(-1.18706373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374384208125592 × 6371000     		do = 114.322721793243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83488071-1.83492864) × cos(-1.18708167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374367572775652 × 6371000     		du = 114.317641989016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18706373)-sin(-1.18708167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374384208125592-0.374367572775652)×R²
    abs(1.83492864-1.83488071)×1.6635349939953e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6635349939953e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6635349939953e-05×40589641000000     		ar = 13066.3097864427m²