Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103813 / 99299
↖ ↑ ↗
← S 67.578860°
E105.130921°		 ← 116.47 m → S 67.578860°
E105.133667°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
S 67.579908°
E105.130921°		 ← 116.46 m →
13 564 m²		 S 67.579908°
E105.133667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792034149169922 y=0.757595062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792034149169922 × 217)
    floor (0.792034149169922 × 131072)
    floor (103813.5)     		tx = 103813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757595062255859 × 217)
    floor (0.757595062255859 × 131072)
    floor (99299.5)     		ty = 99299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103813 / 99299 ti = "17/103813/99299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103813/99299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103813 ÷ 217
    103813 ÷ 131072     		x = 0.792030334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99299 ÷ 217
    99299 ÷ 131072     		y = 0.757591247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792030334472656 × 2 - 1) × π
    0.584060668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.83488071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757591247558594 × 2 - 1) × π
    -0.515182495117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.61849354187196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83488071} λ = 1.83488071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61849354187196))-π/2
    2×atan(0.198197049857429)-π/2
    2×0.195661354395721-π/2
    0.391322708791442-1.57079632675     		φ = -1.17947362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83488071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.130921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17947362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.578860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103813 KachelY 99299 1.83488071 -1.17947362 105.130921 -67.578860
    Oben rechts KachelX + 1 103814 KachelY 99299 1.83492864 -1.17947362 105.133667 -67.578860
    Unten links KachelX 103813 KachelY + 1 99300 1.83488071 -1.17949190 105.130921 -67.579908
    Unten rechts KachelX + 1 103814 KachelY + 1 99300 1.83492864 -1.17949190 105.133667 -67.579908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17947362--1.17949190) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17947362--1.17949190) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83488071-1.83492864) × cos(-1.17947362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381411465684674 × 6371000     		do = 116.468579426819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83488071-1.83492864) × cos(-1.17949190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381394567490729 × 6371000     		du = 116.463419360012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17947362)-sin(-1.17949190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381411465684674-0.381394567490729)×R²
    abs(1.83492864-1.83488071)×1.68981939454582e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68981939454582e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68981939454582e-05×40589641000000     		ar = 13563.8492457689m²