Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103812 / 99717
↖ ↑ ↗
← S 68.012713°
E105.128174°		 ← 114.35 m → S 68.012713°
E105.130921°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
S 68.013742°
E105.128174°		 ← 114.35 m →
13 077 m²		 S 68.013742°
E105.130921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792026519775391 y=0.760784149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792026519775391 × 217)
    floor (0.792026519775391 × 131072)
    floor (103812.5)     		tx = 103812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760784149169922 × 217)
    floor (0.760784149169922 × 131072)
    floor (99717.5)     		ty = 99717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103812 / 99717 ti = "17/103812/99717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103812/99717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103812 ÷ 217
    103812 ÷ 131072     		x = 0.792022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99717 ÷ 217
    99717 ÷ 131072     		y = 0.760780334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792022705078125 × 2 - 1) × π
    0.58404541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83483277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760780334472656 × 2 - 1) × π
    -0.521560668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63853116591314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83483277} λ = 1.83483277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63853116591314))-π/2
    2×atan(0.194265176145078)-π/2
    2×0.191875274105083-π/2
    0.383750548210166-1.57079632675     		φ = -1.18704578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83483277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.128174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18704578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.012713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103812 KachelY 99717 1.83483277 -1.18704578 105.128174 -68.012713
    Oben rechts KachelX + 1 103813 KachelY 99717 1.83488071 -1.18704578 105.130921 -68.012713
    Unten links KachelX 103812 KachelY + 1 99718 1.83483277 -1.18706373 105.128174 -68.013742
    Unten rechts KachelX + 1 103813 KachelY + 1 99718 1.83488071 -1.18706373 105.130921 -68.013742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18704578--1.18706373) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18704578--1.18706373) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83483277-1.83488071) × cos(-1.18704578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374400852627708 × 6371000     		do = 114.351657470374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83483277-1.83488071) × cos(-1.18706373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374384208125592 × 6371000     		du = 114.346573810998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18704578)-sin(-1.18706373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374400852627708-0.374384208125592)×R²
    abs(1.83488071-1.83483277)×1.66445021163031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66445021163031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66445021163031e-05×40589641000000     		ar = 13076.901972963m²