Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103807 / 99209
↖ ↑ ↗
← S 67.484390°
E105.114441°		 ← 116.93 m → S 67.484390°
E105.117187°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.485442°
E105.114441°		 ← 116.93 m →
13 678 m²		 S 67.485442°
E105.117187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791988372802734 y=0.756908416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791988372802734 × 217)
    floor (0.791988372802734 × 131072)
    floor (103807.5)     		tx = 103807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756908416748047 × 217)
    floor (0.756908416748047 × 131072)
    floor (99209.5)     		ty = 99209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103807 / 99209 ti = "17/103807/99209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103807/99209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103807 ÷ 217
    103807 ÷ 131072     		x = 0.791984558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99209 ÷ 217
    99209 ÷ 131072     		y = 0.756904602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791984558105469 × 2 - 1) × π
    0.583969116210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.83459309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756904602050781 × 2 - 1) × π
    -0.513809204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.61417922090615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83459309} λ = 1.83459309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61417922090615))-π/2
    2×atan(0.199053982757578)-π/2
    2×0.196485762620863-π/2
    0.392971525241725-1.57079632675     		φ = -1.17782480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83459309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.114441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17782480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.484390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103807 KachelY 99209 1.83459309 -1.17782480 105.114441 -67.484390
    Oben rechts KachelX + 1 103808 KachelY 99209 1.83464102 -1.17782480 105.117187 -67.484390
    Unten links KachelX 103807 KachelY + 1 99210 1.83459309 -1.17784316 105.114441 -67.485442
    Unten rechts KachelX + 1 103808 KachelY + 1 99210 1.83464102 -1.17784316 105.117187 -67.485442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17782480--1.17784316) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dl = 116.971559999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17782480--1.17784316) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dr = 116.971559999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83459309-1.83464102) × cos(-1.17782480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382935124607469 × 6371000     		do = 116.933847008511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83459309-1.83464102) × cos(-1.17784316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382918164029559 × 6371000     		du = 116.928667892011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17782480)-sin(-1.17784316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382935124607469-0.382918164029559)×R²
    abs(1.83464102-1.83459309)×1.6960577910341e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6960577910341e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6960577910341e-05×40589641000000     		ar = 13677.6315970235m²