Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103806 / 99298
↖ ↑ ↗
← S 67.577813°
E105.111694°		 ← 116.50 m → S 67.577813°
E105.114441°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
S 67.578860°
E105.111694°		 ← 116.49 m →
13 575 m²		 S 67.578860°
E105.114441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791980743408203 y=0.757587432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791980743408203 × 217)
    floor (0.791980743408203 × 131072)
    floor (103806.5)     		tx = 103806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757587432861328 × 217)
    floor (0.757587432861328 × 131072)
    floor (99298.5)     		ty = 99298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103806 / 99298 ti = "17/103806/99298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103806/99298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103806 ÷ 217
    103806 ÷ 131072     		x = 0.791976928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99298 ÷ 217
    99298 ÷ 131072     		y = 0.757583618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791976928710938 × 2 - 1) × π
    0.583953857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83454515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757583618164062 × 2 - 1) × π
    -0.515167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61844560497234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83454515} λ = 1.83454515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61844560497234))-π/2
    2×atan(0.19820655103724)-π/2
    2×0.195670496439892-π/2
    0.391340992879784-1.57079632675     		φ = -1.17945533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83454515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.111694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17945533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.577813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103806 KachelY 99298 1.83454515 -1.17945533 105.111694 -67.577813
    Oben rechts KachelX + 1 103807 KachelY 99298 1.83459309 -1.17945533 105.114441 -67.577813
    Unten links KachelX 103806 KachelY + 1 99299 1.83454515 -1.17947362 105.111694 -67.578860
    Unten rechts KachelX + 1 103807 KachelY + 1 99299 1.83459309 -1.17947362 105.114441 -67.578860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17945533--1.17947362) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17945533--1.17947362) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83454515-1.83459309) × cos(-1.17945533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381428372995152 × 6371000     		do = 116.498043078964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83454515-1.83459309) × cos(-1.17947362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381411465684674 × 6371000     		du = 116.49287915115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17945533)-sin(-1.17947362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381428372995152-0.381411465684674)×R²
    abs(1.83459309-1.83454515)×1.69073104777651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69073104777651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69073104777651e-05×40589641000000     		ar = 13574.7023392234m²