Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103803 / 97992
↖ ↑ ↗
← S 66.169390°
E105.103455°		 ← 123.38 m → S 66.169390°
E105.106201°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.170499°
E105.103455°		 ← 123.37 m →
15 217 m²		 S 66.170499°
E105.106201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791957855224609 y=0.747623443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791957855224609 × 217)
    floor (0.791957855224609 × 131072)
    floor (103803.5)     		tx = 103803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747623443603516 × 217)
    floor (0.747623443603516 × 131072)
    floor (97992.5)     		ty = 97992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103803 / 97992 ti = "17/103803/97992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103803/97992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103803 ÷ 217
    103803 ÷ 131072     		x = 0.791954040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97992 ÷ 217
    97992 ÷ 131072     		y = 0.74761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791954040527344 × 2 - 1) × π
    0.583908081054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.83440134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55584001406854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83440134} λ = 1.83440134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55584001406854))-π/2
    2×atan(0.211012055077677)-π/2
    2×0.207961305218926-π/2
    0.415922610437853-1.57079632675     		φ = -1.15487372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83440134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.103455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15487372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.169390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103803 KachelY 97992 1.83440134 -1.15487372 105.103455 -66.169390
    Oben rechts KachelX + 1 103804 KachelY 97992 1.83444927 -1.15487372 105.106201 -66.169390
    Unten links KachelX 103803 KachelY + 1 97993 1.83440134 -1.15489308 105.103455 -66.170499
    Unten rechts KachelX + 1 103804 KachelY + 1 97993 1.83444927 -1.15489308 105.106201 -66.170499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15487372--1.15489308) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dl = 123.342559998737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15487372--1.15489308) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dr = 123.342559998737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83440134-1.83444927) × cos(-1.15487372) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.404034051202971 × 6371000     		do = 123.376658063967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83440134-1.83444927) × cos(-1.15489308) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.404016341684473 × 6371000     		du = 123.371250249448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15487372)-sin(-1.15489308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404034051202971-0.404016341684473)×R²
    abs(1.83444927-1.83440134)×1.77095184977216e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77095184977216e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77095184977216e-05×40589641000000     		ar = 15217.2593434052m²