Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103802 / 99210
↖ ↑ ↗
← S 67.485442°
E105.100708°		 ← 116.95 m → S 67.485442°
E105.103455°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.486493°
E105.100708°		 ← 116.95 m →
13 672 m²		 S 67.486493°
E105.103455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791950225830078 y=0.756916046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791950225830078 × 217)
    floor (0.791950225830078 × 131072)
    floor (103802.5)     		tx = 103802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756916046142578 × 217)
    floor (0.756916046142578 × 131072)
    floor (99210.5)     		ty = 99210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103802 / 99210 ti = "17/103802/99210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103802/99210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103802 ÷ 217
    103802 ÷ 131072     		x = 0.791946411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99210 ÷ 217
    99210 ÷ 131072     		y = 0.756912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791946411132812 × 2 - 1) × π
    0.583892822265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83435340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756912231445312 × 2 - 1) × π
    -0.513824462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61422715780577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83435340} λ = 1.83435340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61422715780577))-π/2
    2×atan(0.199044440955492)-π/2
    2×0.196476584462802-π/2
    0.392953168925605-1.57079632675     		φ = -1.17784316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83435340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.100708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17784316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.485442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103802 KachelY 99210 1.83435340 -1.17784316 105.100708 -67.485442
    Oben rechts KachelX + 1 103803 KachelY 99210 1.83440134 -1.17784316 105.103455 -67.485442
    Unten links KachelX 103802 KachelY + 1 99211 1.83435340 -1.17786151 105.100708 -67.486493
    Unten rechts KachelX + 1 103803 KachelY + 1 99211 1.83440134 -1.17786151 105.103455 -67.486493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17784316--1.17786151) × R
    1.83500000001668e-05 × 6371000     		dl = 116.907850001063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17784316--1.17786151) × R
    1.83500000001668e-05 × 6371000     		dr = 116.907850001063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83435340-1.83440134) × cos(-1.17784316) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382918164029559 × 6371000     		do = 116.953063608634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83435340-1.83440134) × cos(-1.17786151) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.382901212560464 × 6371000     		du = 116.947886193642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17784316)-sin(-1.17786151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382918164029559-0.382901212560464)×R²
    abs(1.83440134-1.83435340)×1.69514690953609e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69514690953609e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69514690953609e-05×40589641000000     		ar = 13672.4285777206m²