Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103801 / 99203
↖ ↑ ↗
← S 67.478079°
E105.097961°		 ← 116.99 m → S 67.478079°
E105.100708°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.479131°
E105.097961°		 ← 116.98 m →
13 684 m²		 S 67.479131°
E105.100708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791942596435547 y=0.756862640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791942596435547 × 217)
    floor (0.791942596435547 × 131072)
    floor (103801.5)     		tx = 103801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756862640380859 × 217)
    floor (0.756862640380859 × 131072)
    floor (99203.5)     		ty = 99203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103801 / 99203 ti = "17/103801/99203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103801/99203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103801 ÷ 217
    103801 ÷ 131072     		x = 0.791938781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99203 ÷ 217
    99203 ÷ 131072     		y = 0.756858825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791938781738281 × 2 - 1) × π
    0.583877563476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.83430546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756858825683594 × 2 - 1) × π
    -0.513717651367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.61389159950843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83430546} λ = 1.83430546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61389159950843))-π/2
    2×atan(0.199111243176587)-π/2
    2×0.196540840105085-π/2
    0.393081680210169-1.57079632675     		φ = -1.17771465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83430546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.097961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17771465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.478079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103801 KachelY 99203 1.83430546 -1.17771465 105.097961 -67.478079
    Oben rechts KachelX + 1 103802 KachelY 99203 1.83435340 -1.17771465 105.100708 -67.478079
    Unten links KachelX 103801 KachelY + 1 99204 1.83430546 -1.17773301 105.097961 -67.479131
    Unten rechts KachelX + 1 103802 KachelY + 1 99204 1.83435340 -1.17773301 105.100708 -67.479131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17771465--1.17773301) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dl = 116.971560000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17771465--1.17773301) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dr = 116.971560000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83430546-1.83435340) × cos(-1.17771465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383036876126649 × 6371000     		do = 116.989321338193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83430546-1.83435340) × cos(-1.17773301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		du = 116.984141377691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17771465)-sin(-1.17773301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383036876126649-0.383019916323255)×R²
    abs(1.83435340-1.83430546)×1.69598033944451e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69598033944451e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69598033944451e-05×40589641000000     		ar = 13684.1204666706m²