Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103800 / 100217
↖ ↑ ↗
← S 68.521196°
E105.095215°		 ← 111.81 m → S 68.521196°
E105.097961°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.522202°
E105.095215°		 ← 111.81 m →
12 501 m²		 S 68.522202°
E105.097961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791934967041016 y=0.764598846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791934967041016 × 217)
    floor (0.791934967041016 × 131072)
    floor (103800.5)     		tx = 103800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764598846435547 × 217)
    floor (0.764598846435547 × 131072)
    floor (100217.5)     		ty = 100217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103800 / 100217 ti = "17/103800/100217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103800/100217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103800 ÷ 217
    103800 ÷ 131072     		x = 0.79193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100217 ÷ 217
    100217 ÷ 131072     		y = 0.764595031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79193115234375 × 2 - 1) × π
    0.5838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83425753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764595031738281 × 2 - 1) × π
    -0.529190063476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.66249961572317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83425753} λ = 1.83425753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66249961572317))-π/2
    2×atan(0.189664299224317)-π/2
    2×0.187437922354521-π/2
    0.374875844709042-1.57079632675     		φ = -1.19592048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83425753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.095215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19592048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.521196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103800 KachelY 100217 1.83425753 -1.19592048 105.095215 -68.521196
    Oben rechts KachelX + 1 103801 KachelY 100217 1.83430546 -1.19592048 105.097961 -68.521196
    Unten links KachelX 103800 KachelY + 1 100218 1.83425753 -1.19593803 105.095215 -68.522202
    Unten rechts KachelX + 1 103801 KachelY + 1 100218 1.83430546 -1.19593803 105.097961 -68.522202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19592048--1.19593803) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19592048--1.19593803) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83425753-1.83430546) × cos(-1.19592048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366157000759845 × 6371000     		do = 111.810445050806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83425753-1.83430546) × cos(-1.19593803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366140669496752 × 6371000     		du = 111.805458103156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19592048)-sin(-1.19593803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366157000759845-0.366140669496752)×R²
    abs(1.83430546-1.83425753)×1.63312630935275e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63312630935275e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63312630935275e-05×40589641000000     		ar = 12501.3644645272m²