Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10380 / 5883
↖ ↑ ↗
← N 81.312470°
W122.980957°		 ← 92.27 m → N 81.312470°
W122.975464°		 →
↑
92.25 m
↓
↑
92.25 m
↓
N 81.311641°
W122.980957°		 ← 92.28 m →
8 512 m²		 N 81.311641°
W122.975464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158393859863281 y=0.0897750854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158393859863281 × 216)
    floor (0.158393859863281 × 65536)
    floor (10380.5)     		tx = 10380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0897750854492188 × 216)
    floor (0.0897750854492188 × 65536)
    floor (5883.5)     		ty = 5883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10380 / 5883 ti = "16/10380/5883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10380/5883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10380 ÷ 216
    10380 ÷ 65536     		x = 0.15838623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5883 ÷ 216
    5883 ÷ 65536     		y = 0.0897674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.6832275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14642262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0897674560546875 × 2 - 1) × π
    0.820465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57756709257042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14642262} λ = -2.14642262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57756709257042))-π/2
    2×atan(13.1650697697104)-π/2
    2×1.49498332976773-π/2
    2.98996665953546-1.57079632675     		φ = 1.41917033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14642262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41917033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.312470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10380 KachelY 5883 -2.14642262 1.41917033 -122.980957 81.312470
    Oben rechts KachelX + 1 10381 KachelY 5883 -2.14632674 1.41917033 -122.975464 81.312470
    Unten links KachelX 10380 KachelY + 1 5884 -2.14642262 1.41915585 -122.980957 81.311641
    Unten rechts KachelX + 1 10381 KachelY + 1 5884 -2.14632674 1.41915585 -122.975464 81.311641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41917033-1.41915585) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dl = 92.2520799995405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41917033-1.41915585) × R
    1.44799999999279e-05 × 6371000     		dr = 92.2520799995405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14642262--2.14632674) × cos(1.41917033) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151045672821645 × 6371000     		do = 92.2664727906373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14642262--2.14632674) × cos(1.41915585) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151059986673657 × 6371000     		du = 92.2752164283232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41917033)-sin(1.41915585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151045672821645-0.151059986673657)×R²
    abs(-2.14632674--2.14642262)×1.43138520117547e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43138520117547e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43138520117547e-05×40589641000000     		ar = 8512.17733881118m²