Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103794 / 99504
↖ ↑ ↗
← S 67.792641°
E105.078736°		 ← 115.41 m → S 67.792641°
E105.081482°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.793679°
E105.078736°		 ← 115.41 m →
13 323 m²		 S 67.793679°
E105.081482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791889190673828 y=0.759159088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791889190673828 × 217)
    floor (0.791889190673828 × 131072)
    floor (103794.5)     		tx = 103794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759159088134766 × 217)
    floor (0.759159088134766 × 131072)
    floor (99504.5)     		ty = 99504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103794 / 99504 ti = "17/103794/99504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103794/99504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103794 ÷ 217
    103794 ÷ 131072     		x = 0.791885375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99504 ÷ 217
    99504 ÷ 131072     		y = 0.7591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791885375976562 × 2 - 1) × π
    0.583770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83396991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62832060629407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83396991} λ = 1.83396991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62832060629407))-π/2
    2×atan(0.196258893471521)-π/2
    2×0.193795767724963-π/2
    0.387591535449925-1.57079632675     		φ = -1.18320479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83396991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.078736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18320479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.792641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103794 KachelY 99504 1.83396991 -1.18320479 105.078736 -67.792641
    Oben rechts KachelX + 1 103795 KachelY 99504 1.83401784 -1.18320479 105.081482 -67.792641
    Unten links KachelX 103794 KachelY + 1 99505 1.83396991 -1.18322291 105.078736 -67.793679
    Unten rechts KachelX + 1 103795 KachelY + 1 99505 1.83401784 -1.18322291 105.081482 -67.793679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18320479--1.18322291) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18320479--1.18322291) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83396991-1.83401784) × cos(-1.18320479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377959705160053 × 6371000     		do = 115.414542825946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83396991-1.83401784) × cos(-1.18322291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377942929202528 × 6371000     		du = 115.409420085501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18320479)-sin(-1.18322291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377959705160053-0.377942929202528)×R²
    abs(1.83401784-1.83396991)×1.67759575252502e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67759575252502e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67759575252502e-05×40589641000000     		ar = 13323.4499777271m²