Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10379 / 6250
↖ ↑ ↗
← N 81.002608°
W122.986450°		 ← 95.52 m → N 81.002608°
W122.980957°		 →
↑
95.57 m
↓
↑
95.57 m
↓
N 81.001748°
W122.986450°		 ← 95.53 m →
9 129 m²		 N 81.001748°
W122.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158378601074219 y=0.0953750610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158378601074219 × 216)
    floor (0.158378601074219 × 65536)
    floor (10379.5)     		tx = 10379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953750610351562 × 216)
    floor (0.0953750610351562 × 65536)
    floor (6250.5)     		ty = 6250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10379 / 6250 ti = "16/10379/6250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10379/6250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10379 ÷ 216
    10379 ÷ 65536     		x = 0.158370971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6250 ÷ 216
    6250 ÷ 65536     		y = 0.095367431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158370971679688 × 2 - 1) × π
    -0.683258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14651849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095367431640625 × 2 - 1) × π
    0.80926513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5423814082493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14651849} λ = -2.14651849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5423814082493))-π/2
    2×atan(12.7099024263138)-π/2
    2×1.49227926622444-π/2
    2.98455853244889-1.57079632675     		φ = 1.41376221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14651849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41376221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.002608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10379 KachelY 6250 -2.14651849 1.41376221 -122.986450 81.002608
    Oben rechts KachelX + 1 10380 KachelY 6250 -2.14642262 1.41376221 -122.980957 81.002608
    Unten links KachelX 10379 KachelY + 1 6251 -2.14651849 1.41374721 -122.986450 81.001748
    Unten rechts KachelX + 1 10380 KachelY + 1 6251 -2.14642262 1.41374721 -122.980957 81.001748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41376221-1.41374721) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dl = 95.5650000006261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41376221-1.41374721) × R
    1.50000000000983e-05 × 6371000     		dr = 95.5650000006261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14651849--2.14642262) × cos(1.41376221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15638950936968 × 6371000     		do = 95.5207996792986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14651849--2.14642262) × cos(1.41374721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156404324783983 × 6371000     		du = 95.5298487531625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41376221)-sin(1.41374721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15638950936968-0.156404324783983)×R²
    abs(-2.14642262--2.14651849)×1.48154143031209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48154143031209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48154143031209e-05×40589641000000     		ar = 9128.87760912441m²