Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103776 / 98060
↖ ↑ ↗
← S 66.244738°
E105.029297°		 ← 123.03 m → S 66.244738°
E105.032044°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.245844°
E105.029297°		 ← 123.03 m →
15 136 m²		 S 66.245844°
E105.032044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791751861572266 y=0.748142242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791751861572266 × 217)
    floor (0.791751861572266 × 131072)
    floor (103776.5)     		tx = 103776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748142242431641 × 217)
    floor (0.748142242431641 × 131072)
    floor (98060.5)     		ty = 98060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103776 / 98060 ti = "17/103776/98060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103776/98060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103776 ÷ 217
    103776 ÷ 131072     		x = 0.791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98060 ÷ 217
    98060 ÷ 131072     		y = 0.748138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791748046875 × 2 - 1) × π
    0.58349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83310704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.49627685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55909972324271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83310704} λ = 1.83310704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55909972324271))-π/2
    2×atan(0.210325337004555)-π/2
    2×0.20730376945875-π/2
    0.414607538917501-1.57079632675     		φ = -1.15618879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83310704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15618879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.244738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103776 KachelY 98060 1.83310704 -1.15618879 105.029297 -66.244738
    Oben rechts KachelX + 1 103777 KachelY 98060 1.83315498 -1.15618879 105.032044 -66.244738
    Unten links KachelX 103776 KachelY + 1 98061 1.83310704 -1.15620810 105.029297 -66.245844
    Unten rechts KachelX + 1 103777 KachelY + 1 98061 1.83315498 -1.15620810 105.032044 -66.245844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15618879--1.15620810) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dl = 123.024009999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15618879--1.15620810) × R
    1.93099999998836e-05 × 6371000     		dr = 123.024009999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83310704-1.83315498) × cos(-1.15618879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402830749859521 × 6371000     		do = 123.034879870518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83310704-1.83315498) × cos(-1.15620810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402813075834071 × 6371000     		du = 123.029481768217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15618879)-sin(-1.15620810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402830749859521-0.402813075834071)×R²
    abs(1.83315498-1.83310704)×1.76740254501095e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76740254501095e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76740254501095e-05×40589641000000     		ar = 15135.9122439101m²