Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103762 / 99501
↖ ↑ ↗
← S 67.789526°
E104.990844°		 ← 115.45 m → S 67.789526°
E104.993591°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.790564°
E104.990844°		 ← 115.45 m →
13 328 m²		 S 67.790564°
E104.993591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791645050048828 y=0.759136199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791645050048828 × 217)
    floor (0.791645050048828 × 131072)
    floor (103762.5)     		tx = 103762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759136199951172 × 217)
    floor (0.759136199951172 × 131072)
    floor (99501.5)     		ty = 99501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103762 / 99501 ti = "17/103762/99501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103762/99501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103762 ÷ 217
    103762 ÷ 131072     		x = 0.791641235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99501 ÷ 217
    99501 ÷ 131072     		y = 0.759132385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791641235351562 × 2 - 1) × π
    0.583282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83243592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759132385253906 × 2 - 1) × π
    -0.518264770507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.62817679559521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83243592} λ = 1.83243592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62817679559521))-π/2
    2×atan(0.196287119629712)-π/2
    2×0.193822946858847-π/2
    0.387645893717694-1.57079632675     		φ = -1.18315043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83243592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.990844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18315043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.789526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103762 KachelY 99501 1.83243592 -1.18315043 104.990844 -67.789526
    Oben rechts KachelX + 1 103763 KachelY 99501 1.83248386 -1.18315043 104.993591 -67.789526
    Unten links KachelX 103762 KachelY + 1 99502 1.83243592 -1.18316855 104.990844 -67.790564
    Unten rechts KachelX + 1 103763 KachelY + 1 99502 1.83248386 -1.18316855 104.993591 -67.790564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18315043--1.18316855) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18315043--1.18316855) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83243592-1.83248386) × cos(-1.18315043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378010032288024 × 6371000     		do = 115.453993838918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83243592-1.83248386) × cos(-1.18316855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377993256702807 × 6371000     		du = 115.448870143389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18315043)-sin(-1.18316855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378010032288024-0.377993256702807)×R²
    abs(1.83248386-1.83243592)×1.67755852172324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67755852172324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67755852172324e-05×40589641000000     		ar = 13328.0042470367m²