Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10376 / 5512
↖ ↑ ↗
← N 81.614946°
W123.002930°		 ← 89.07 m → N 81.614946°
W122.997437°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
N 81.614145°
W123.002930°		 ← 89.08 m →
7 933 m²		 N 81.614145°
W122.997437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158332824707031 y=0.0841140747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158332824707031 × 216)
    floor (0.158332824707031 × 65536)
    floor (10376.5)     		tx = 10376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0841140747070312 × 216)
    floor (0.0841140747070312 × 65536)
    floor (5512.5)     		ty = 5512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10376 / 5512 ti = "16/10376/5512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10376/5512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10376 ÷ 216
    10376 ÷ 65536     		x = 0.1583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5512 ÷ 216
    5512 ÷ 65536     		y = 0.0841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14680611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0841064453125 × 2 - 1) × π
    0.831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.6131362720885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14680611} λ = -2.14680611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6131362720885))-π/2
    2×atan(13.6417681269318)-π/2
    2×1.4976229250002-π/2
    2.99524585000041-1.57079632675     		φ = 1.42444952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14680611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42444952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.614946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10376 KachelY 5512 -2.14680611 1.42444952 -123.002930 81.614946
    Oben rechts KachelX + 1 10377 KachelY 5512 -2.14671024 1.42444952 -122.997437 81.614946
    Unten links KachelX 10376 KachelY + 1 5513 -2.14680611 1.42443554 -123.002930 81.614145
    Unten rechts KachelX + 1 10377 KachelY + 1 5513 -2.14671024 1.42443554 -122.997437 81.614145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42444952-1.42443554) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42444952-1.42443554) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14680611--2.14671024) × cos(1.42444952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145824971538697 × 6371000     		do = 89.0681091764325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14680611--2.14671024) × cos(1.42443554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.14583880208391 × 6371000     		du = 89.0765567043011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42444952)-sin(1.42443554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145824971538697-0.14583880208391)×R²
    abs(-2.14671024--2.14680611)×1.38305452131449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38305452131449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38305452131449e-05×40589641000000     		ar = 7933.36806778597m²