Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10375 / 6790
↖ ↑ ↗
← N 80.526648°
W123.008423°		 ← 100.54 m → N 80.526648°
W123.002930°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
N 80.525744°
W123.008423°		 ← 100.55 m →
10 108 m²		 N 80.525744°
W123.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158317565917969 y=0.103614807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158317565917969 × 216)
    floor (0.158317565917969 × 65536)
    floor (10375.5)     		tx = 10375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103614807128906 × 216)
    floor (0.103614807128906 × 65536)
    floor (6790.5)     		ty = 6790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10375 / 6790 ti = "16/10375/6790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10375/6790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10375 ÷ 216
    10375 ÷ 65536     		x = 0.158309936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6790 ÷ 216
    6790 ÷ 65536     		y = 0.103607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158309936523438 × 2 - 1) × π
    -0.683380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14690199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103607177734375 × 2 - 1) × π
    0.79278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49060955665964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14690199} λ = -2.14690199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49060955665964))-π/2
    2×atan(12.0686303928228)-π/2
    2×1.48812573480536-π/2
    2.97625146961073-1.57079632675     		φ = 1.40545514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14690199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.008423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40545514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.526648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10375 KachelY 6790 -2.14690199 1.40545514 -123.008423 80.526648
    Oben rechts KachelX + 1 10376 KachelY 6790 -2.14680611 1.40545514 -123.002930 80.526648
    Unten links KachelX 10375 KachelY + 1 6791 -2.14690199 1.40543936 -123.008423 80.525744
    Unten rechts KachelX + 1 10376 KachelY + 1 6791 -2.14680611 1.40543936 -123.002930 80.525744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40545514-1.40543936) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40545514-1.40543936) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14690199--2.14680611) × cos(1.40545514) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164588874340861 × 6371000     		do = 100.539357482583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14690199--2.14680611) × cos(1.40543936) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164604439116788 × 6371000     		du = 100.548865248994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40545514)-sin(1.40543936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164588874340861-0.164604439116788)×R²
    abs(-2.14680611--2.14690199)×1.55647759261246e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.55647759261246e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55647759261246e-05×40589641000000     		ar = 10108.139898944m²