Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10374 / 2699
↖ ↑ ↗
← N 76.127162°
E 47.944336°		 ← 585.80 m → N 76.127162°
E 47.966308°		 →
↑
585.88 m
↓
↑
585.88 m
↓
N 76.121893°
E 47.944336°		 ← 586.02 m →
343 273 m²		 N 76.121893°
E 47.966308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633209228515625 y=0.164764404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633209228515625 × 214)
    floor (0.633209228515625 × 16384)
    floor (10374.5)     		tx = 10374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164764404296875 × 214)
    floor (0.164764404296875 × 16384)
    floor (2699.5)     		ty = 2699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10374 / 2699 ti = "14/10374/2699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10374/2699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10374 ÷ 214
    10374 ÷ 16384     		x = 0.6331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2699 ÷ 214
    2699 ÷ 16384     		y = 0.16473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6331787109375 × 2 - 1) × π
    0.266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83678652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16473388671875 × 2 - 1) × π
    0.6705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10653911690375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83678652} λ = 0.83678652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10653911690375))-π/2
    2×atan(8.21974442638231)-π/2
    2×1.44973297938426-π/2
    2.89946595876852-1.57079632675     		φ = 1.32866963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83678652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.944336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32866963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.127162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10374 KachelY 2699 0.83678652 1.32866963 47.944336 76.127162
    Oben rechts KachelX + 1 10375 KachelY 2699 0.83717001 1.32866963 47.966308 76.127162
    Unten links KachelX 10374 KachelY + 1 2700 0.83678652 1.32857767 47.944336 76.121893
    Unten rechts KachelX + 1 10375 KachelY + 1 2700 0.83717001 1.32857767 47.966308 76.121893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32866963-1.32857767) × R
    9.1960000000002e-05 × 6371000     		dl = 585.877160000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32866963-1.32857767) × R
    9.1960000000002e-05 × 6371000     		dr = 585.877160000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83678652-0.83717001) × cos(1.32866963) × R
    0.000383490000000042 × 0.239767828682662 × 6371000     		do = 585.80430520373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83678652-0.83717001) × cos(1.32857767) × R
    0.000383490000000042 × 0.239857105219175 × 6371000     		du = 586.022426958138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32866963)-sin(1.32857767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239767828682662-0.239857105219175)×R²
    abs(0.83717001-0.83678652)×8.92765365125836e-05×R²
    0.000383490000000042×8.92765365125836e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.92765365125836e-05×40589641000000     		ar = 343273.259167367m²