Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10373 / 6263
↖ ↑ ↗
← N 80.991433°
W123.019409°		 ← 95.64 m → N 80.991433°
W123.013916°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
N 80.990573°
W123.019409°		 ← 95.65 m →
9 146 m²		 N 80.990573°
W123.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158287048339844 y=0.0955734252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158287048339844 × 216)
    floor (0.158287048339844 × 65536)
    floor (10373.5)     		tx = 10373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955734252929688 × 216)
    floor (0.0955734252929688 × 65536)
    floor (6263.5)     		ty = 6263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10373 / 6263 ti = "16/10373/6263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10373/6263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10373 ÷ 216
    10373 ÷ 65536     		x = 0.158279418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6263 ÷ 216
    6263 ÷ 65536     		y = 0.0955657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158279418945312 × 2 - 1) × π
    -0.683441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14709373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955657958984375 × 2 - 1) × π
    0.808868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54113504885918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14709373} λ = -2.14709373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54113504885918))-π/2
    2×atan(12.694071187833)-π/2
    2×1.49218174744398-π/2
    2.98436349488797-1.57079632675     		φ = 1.41356717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14709373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.019409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41356717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.991433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10373 KachelY 6263 -2.14709373 1.41356717 -123.019409 80.991433
    Oben rechts KachelX + 1 10374 KachelY 6263 -2.14699786 1.41356717 -123.013916 80.991433
    Unten links KachelX 10373 KachelY + 1 6264 -2.14709373 1.41355216 -123.019409 80.990573
    Unten rechts KachelX + 1 10374 KachelY + 1 6264 -2.14699786 1.41355216 -123.013916 80.990573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41356717-1.41355216) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dl = 95.6287100002389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41356717-1.41355216) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dr = 95.6287100002389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14709373--2.14699786) × cos(1.41356717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156582146516367 × 6371000     		do = 95.638460092543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14709373--2.14699786) × cos(1.41355216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156596971349459 × 6371000     		du = 95.6475149192881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41356717)-sin(1.41355216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156582146516367-0.156596971349459)×R²
    abs(-2.14699786--2.14709373)×1.48248330923417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48248330923417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48248330923417e-05×40589641000000     		ar = 9146.21551599752m²