Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10371 / 6277
↖ ↑ ↗
← N 80.979383°
W123.030395°		 ← 95.77 m → N 80.979383°
W123.024902°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 80.978522°
W123.030395°		 ← 95.77 m →
9 171 m²		 N 80.978522°
W123.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158256530761719 y=0.0957870483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158256530761719 × 216)
    floor (0.158256530761719 × 65536)
    floor (10371.5)     		tx = 10371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957870483398438 × 216)
    floor (0.0957870483398438 × 65536)
    floor (6277.5)     		ty = 6277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10371 / 6277 ti = "16/10371/6277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10371/6277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10371 ÷ 216
    10371 ÷ 65536     		x = 0.158248901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6277 ÷ 216
    6277 ÷ 65536     		y = 0.0957794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158248901367188 × 2 - 1) × π
    -0.683502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14728548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0957794189453125 × 2 - 1) × π
    0.808441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53979281566982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14728548} λ = -2.14728548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53979281566982))-π/2
    2×atan(12.6770442138177)-π/2
    2×1.49207659288146-π/2
    2.98415318576293-1.57079632675     		φ = 1.41335686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14728548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.030395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41335686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.979383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10371 KachelY 6277 -2.14728548 1.41335686 -123.030395 80.979383
    Oben rechts KachelX + 1 10372 KachelY 6277 -2.14718961 1.41335686 -123.024902 80.979383
    Unten links KachelX 10371 KachelY + 1 6278 -2.14728548 1.41334183 -123.030395 80.978522
    Unten rechts KachelX + 1 10372 KachelY + 1 6278 -2.14718961 1.41334183 -123.024902 80.978522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41335686-1.41334183) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41335686-1.41334183) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14728548--2.14718961) × cos(1.41335686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156789858865284 × 6371000     		do = 95.7653282549393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14728548--2.14718961) × cos(1.41334183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156804702956326 × 6371000     		du = 95.7743948442047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41335686)-sin(1.41334183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156789858865284-0.156804702956326)×R²
    abs(-2.14718961--2.14728548)×1.48440910424097e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48440910424097e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48440910424097e-05×40589641000000     		ar = 9170.55131260934m²