Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103703 / 99479
S 67.766674°
E104.828797°
← 115.54 m → S 67.766674°
E104.831543°

115.57 m

115.57 m
S 67.767713°
E104.828797°
← 115.54 m →
13 353 m²
S 67.767713°
E104.831543°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791194915771484 y=0.758968353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791194915771484 × 217)
    floor (0.791194915771484 × 131072)
    floor (103703.5)
    tx = 103703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758968353271484 × 217)
    floor (0.758968353271484 × 131072)
    floor (99479.5)
    ty = 99479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103703 / 99479 ti = "17/103703/99479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103703/99479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103703 ÷ 217
    103703 ÷ 131072
    x = 0.791191101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99479 ÷ 217
    99479 ÷ 131072
    y = 0.758964538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.791191101074219 × 2 - 1) × π
    0.582382202148438 × 3.1415926535
    Λ = 1.82960765
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.758964538574219 × 2 - 1) × π
    -0.517929077148438 × 3.1415926535
    Φ = -1.62712218380357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82960765} λ = 1.82960765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62712218380357))-π/2
    2×atan(0.196494235534863)-π/2
    2×0.194022371109972-π/2
    0.388044742219944-1.57079632675
    φ = -1.18275158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82960765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.828797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18275158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.766674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103703 KachelY 99479 1.82960765 -1.18275158 104.828797 -67.766674
    Oben rechts KachelX + 1 103704 KachelY 99479 1.82965558 -1.18275158 104.831543 -67.766674
    Unten links KachelX 103703 KachelY + 1 99480 1.82960765 -1.18276972 104.828797 -67.767713
    Unten rechts KachelX + 1 103704 KachelY + 1 99480 1.82965558 -1.18276972 104.831543 -67.767713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.18275158--1.18276972) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000
    dl = 115.569940000706m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.18275158--1.18276972) × R
    1.81400000001108e-05 × 6371000
    dr = 115.569940000706m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.82960765-1.82965558) × cos(-1.18275158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378379258138929 × 6371000
    do = 115.542658375268m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.82960765-1.82965558) × cos(-1.18276972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378362466773775 × 6371000
    du = 115.537530929918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.18275158)-sin(-1.18276972))×
    abs(λ12)×abs(0.378379258138929-0.378362466773775)×
    abs(1.82965558-1.82960765)×1.67913651542007e-05×
    4.79300000000293e-05×1.67913651542007e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67913651542007e-05×40589641000000
    ar = 13352.9618070194m²