Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10370 / 6018
↖ ↑ ↗
← N 81.199739°
W123.035889°		 ← 93.45 m → N 81.199739°
W123.030395°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
N 81.198899°
W123.035889°		 ← 93.46 m →
8 735 m²		 N 81.198899°
W123.030395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158241271972656 y=0.0918350219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158241271972656 × 216)
    floor (0.158241271972656 × 65536)
    floor (10370.5)     		tx = 10370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0918350219726562 × 216)
    floor (0.0918350219726562 × 65536)
    floor (6018.5)     		ty = 6018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10370 / 6018 ti = "16/10370/6018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10370/6018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10370 ÷ 216
    10370 ÷ 65536     		x = 0.158233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6018 ÷ 216
    6018 ÷ 65536     		y = 0.091827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.68353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14738136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091827392578125 × 2 - 1) × π
    0.81634521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.564624129673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14738136} λ = -2.14738136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.564624129673))-π/2
    2×atan(12.9957727261998)-π/2
    2×1.49399956116771-π/2
    2.98799912233543-1.57079632675     		φ = 1.41720280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14738136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41720280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.199739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10370 KachelY 6018 -2.14738136 1.41720280 -123.035889 81.199739
    Oben rechts KachelX + 1 10371 KachelY 6018 -2.14728548 1.41720280 -123.030395 81.199739
    Unten links KachelX 10370 KachelY + 1 6019 -2.14738136 1.41718813 -123.035889 81.198899
    Unten rechts KachelX + 1 10371 KachelY + 1 6019 -2.14728548 1.41718813 -123.030395 81.198899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41720280-1.41718813) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dl = 93.4625700006717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41720280-1.41718813) × R
    1.46700000001054e-05 × 6371000     		dr = 93.4625700006717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14738136--2.14728548) × cos(1.41720280) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152990335310149 × 6371000     		do = 93.4543727498396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14738136--2.14728548) × cos(1.41718813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153004832593825 × 6371000     		du = 93.4632284370287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41720280)-sin(1.41718813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152990335310149-0.153004832593825)×R²
    abs(-2.14728548--2.14738136)×1.44972836753632e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44972836753632e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44972836753632e-05×40589641000000     		ar = 8734.89969289387m²