Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10370 / 5758
↖ ↑ ↗
← N 75.146411°
W 66.071778°		 ← 313.17 m → N 75.146411°
W 66.060791°		 →
↑
313.20 m
↓
↑
313.20 m
↓
N 75.143595°
W 66.071778°		 ← 313.23 m →
98 093 m²		 N 75.143595°
W 66.060791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316482543945312 y=0.175735473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316482543945312 × 215)
    floor (0.316482543945312 × 32768)
    floor (10370.5)     		tx = 10370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175735473632812 × 215)
    floor (0.175735473632812 × 32768)
    floor (5758.5)     		ty = 5758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10370 / 5758 ti = "15/10370/5758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10370/5758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10370 ÷ 215
    10370 ÷ 32768     		x = 0.31646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5758 ÷ 215
    5758 ÷ 32768     		y = 0.17572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.3670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.15317006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17572021484375 × 2 - 1) × π
    0.6485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.03750998145087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15317006} λ = -1.15317006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03750998145087))-π/2
    2×atan(7.67148326117153)-π/2
    2×1.44117431489601-π/2
    2.88234862979203-1.57079632675     		φ = 1.31155230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15317006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.071778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31155230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.146411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10370 KachelY 5758 -1.15317006 1.31155230 -66.071778 75.146411
    Oben rechts KachelX + 1 10371 KachelY 5758 -1.15297831 1.31155230 -66.060791 75.146411
    Unten links KachelX 10370 KachelY + 1 5759 -1.15317006 1.31150314 -66.071778 75.143595
    Unten rechts KachelX + 1 10371 KachelY + 1 5759 -1.15297831 1.31150314 -66.060791 75.143595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31155230-1.31150314) × R
    4.91600000001036e-05 × 6371000     		dl = 313.19836000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31155230-1.31150314) × R
    4.91600000001036e-05 × 6371000     		dr = 313.19836000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15317006--1.15297831) × cos(1.31155230) × R
    0.000191750000000157 × 0.256349913572407 × 6371000     		do = 313.167116154416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15317006--1.15297831) × cos(1.31150314) × R
    0.000191750000000157 × 0.256397430534425 × 6371000     		du = 313.225164740259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31155230)-sin(1.31150314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256349913572407-0.256397430534425)×R²
    abs(-1.15297831--1.15317006)×4.75169620185456e-05×R²
    0.000191750000000157×4.75169620185456e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.75169620185456e-05×40589641000000     		ar = 98092.5175667083m²