Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10369 / 6273
↖ ↑ ↗
← N 80.982828°
W123.041382°		 ← 95.73 m → N 80.982828°
W123.035889°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 80.981966°
W123.041382°		 ← 95.74 m →
9 167 m²		 N 80.981966°
W123.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158226013183594 y=0.0957260131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158226013183594 × 216)
    floor (0.158226013183594 × 65536)
    floor (10369.5)     		tx = 10369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0957260131835938 × 216)
    floor (0.0957260131835938 × 65536)
    floor (6273.5)     		ty = 6273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10369 / 6273 ti = "16/10369/6273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10369/6273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10369 ÷ 216
    10369 ÷ 65536     		x = 0.158218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6273 ÷ 216
    6273 ÷ 65536     		y = 0.0957183837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.683563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14747723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0957183837890625 × 2 - 1) × π
    0.808563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54017631086678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14747723} λ = -2.14747723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54017631086678))-π/2
    2×atan(12.6819067317019)-π/2
    2×1.49210665126785-π/2
    2.98421330253569-1.57079632675     		φ = 1.41341698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14747723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.041382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41341698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.982828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10369 KachelY 6273 -2.14747723 1.41341698 -123.041382 80.982828
    Oben rechts KachelX + 1 10370 KachelY 6273 -2.14738136 1.41341698 -123.035889 80.982828
    Unten links KachelX 10369 KachelY + 1 6274 -2.14747723 1.41340195 -123.041382 80.981966
    Unten rechts KachelX + 1 10370 KachelY + 1 6274 -2.14738136 1.41340195 -123.035889 80.981966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41341698-1.41340195) × R
    1.5030000000138e-05 × 6371000     		dl = 95.7561300008791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41341698-1.41340195) × R
    1.5030000000138e-05 × 6371000     		dr = 95.7561300008791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14747723--2.14738136) × cos(1.41341698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156730482146958 × 6371000     		do = 95.7290616815629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14747723--2.14738136) × cos(1.41340195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156745326379656 × 6371000     		du = 95.7381283573501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41341698)-sin(1.41340195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156730482146958-0.156745326379656)×R²
    abs(-2.14738136--2.14747723)×1.48442326983744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48442326983744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48442326983744e-05×40589641000000     		ar = 9167.07857044533m²