Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10369 / 6014
↖ ↑ ↗
← N 81.203100°
W123.041382°		 ← 93.41 m → N 81.203100°
W123.035889°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
N 81.202260°
W123.041382°		 ← 93.42 m →
8 731 m²		 N 81.202260°
W123.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158226013183594 y=0.0917739868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158226013183594 × 216)
    floor (0.158226013183594 × 65536)
    floor (10369.5)     		tx = 10369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0917739868164062 × 216)
    floor (0.0917739868164062 × 65536)
    floor (6014.5)     		ty = 6014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10369 / 6014 ti = "16/10369/6014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10369/6014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10369 ÷ 216
    10369 ÷ 65536     		x = 0.158218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6014 ÷ 216
    6014 ÷ 65536     		y = 0.091766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.683563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14747723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091766357421875 × 2 - 1) × π
    0.81646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56500762486996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14747723} λ = -2.14747723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56500762486996))-π/2
    2×atan(13.0007574983781)-π/2
    2×1.49402889113983-π/2
    2.98805778227967-1.57079632675     		φ = 1.41726146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14747723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.041382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41726146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.203100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10369 KachelY 6014 -2.14747723 1.41726146 -123.041382 81.203100
    Oben rechts KachelX + 1 10370 KachelY 6014 -2.14738136 1.41726146 -123.035889 81.203100
    Unten links KachelX 10369 KachelY + 1 6015 -2.14747723 1.41724679 -123.041382 81.202260
    Unten rechts KachelX + 1 10370 KachelY + 1 6015 -2.14738136 1.41724679 -123.035889 81.202260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41726146-1.41724679) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dl = 93.4625699992571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41726146-1.41724679) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dr = 93.4625699992571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14747723--2.14738136) × cos(1.41726146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152932365610964 × 6371000     		do = 93.4092185523433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14747723--2.14738136) × cos(1.41724679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152946863026275 × 6371000     		du = 93.4180733963119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41726146)-sin(1.41724679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152932365610964-0.152946863026275)×R²
    abs(-2.14738136--2.14747723)×1.44974153110655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44974153110655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44974153110655e-05×40589641000000     		ar = 8730.6794261639m²