Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10369 / 5759
↖ ↑ ↗
← N 75.143595°
W 66.082763°		 ← 313.21 m → N 75.143595°
W 66.071778°		 →
↑
313.20 m
↓
↑
313.20 m
↓
N 75.140778°
W 66.082763°		 ← 313.27 m →
98 106 m²		 N 75.140778°
W 66.071778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316452026367188 y=0.175765991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316452026367188 × 215)
    floor (0.316452026367188 × 32768)
    floor (10369.5)     		tx = 10369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175765991210938 × 215)
    floor (0.175765991210938 × 32768)
    floor (5759.5)     		ty = 5759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10369 / 5759 ti = "15/10369/5759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10369/5759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10369 ÷ 215
    10369 ÷ 32768     		x = 0.316436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5759 ÷ 215
    5759 ÷ 32768     		y = 0.175750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.316436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.36712646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.15336180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175750732421875 × 2 - 1) × π
    0.64849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.03731823385239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15336180} λ = -1.15336180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03731823385239))-π/2
    2×atan(7.67001241369965)-π/2
    2×1.44114973537844-π/2
    2.88229947075687-1.57079632675     		φ = 1.31150314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15336180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.082763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31150314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.143595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10369 KachelY 5759 -1.15336180 1.31150314 -66.082763 75.143595
    Oben rechts KachelX + 1 10370 KachelY 5759 -1.15317006 1.31150314 -66.071778 75.143595
    Unten links KachelX 10369 KachelY + 1 5760 -1.15336180 1.31145398 -66.082763 75.140778
    Unten rechts KachelX + 1 10370 KachelY + 1 5760 -1.15317006 1.31145398 -66.071778 75.140778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31150314-1.31145398) × R
    4.91599999998815e-05 × 6371000     		dl = 313.198359999245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31150314-1.31145398) × R
    4.91599999998815e-05 × 6371000     		dr = 313.198359999245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15336180--1.15317006) × cos(1.31150314) × R
    0.000191739999999996 × 0.256397430534425 × 6371000     		do = 313.208829659696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15336180--1.15317006) × cos(1.31145398) × R
    0.000191739999999996 × 0.256444946876806 × 6371000     		du = 313.266874461299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31150314)-sin(1.31145398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.256397430534425-0.256444946876806)×R²
    abs(-1.15317006--1.15336180)×4.75163423812597e-05×R²
    0.000191739999999996×4.75163423812597e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.75163423812597e-05×40589641000000     		ar = 98105.5815751336m²