Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103687 / 97914
↖ ↑ ↗
← S 66.082684°
E104.784851°		 ← 123.80 m → S 66.082684°
E104.787597°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
S 66.083798°
E104.784851°		 ← 123.79 m →
15 325 m²		 S 66.083798°
E104.787597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791072845458984 y=0.747028350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791072845458984 × 217)
    floor (0.791072845458984 × 131072)
    floor (103687.5)     		tx = 103687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747028350830078 × 217)
    floor (0.747028350830078 × 131072)
    floor (97914.5)     		ty = 97914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103687 / 97914 ti = "17/103687/97914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103687/97914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103687 ÷ 217
    103687 ÷ 131072     		x = 0.791069030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97914 ÷ 217
    97914 ÷ 131072     		y = 0.747024536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791069030761719 × 2 - 1) × π
    0.582138061523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.82884066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747024536132812 × 2 - 1) × π
    -0.494049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55210093589818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82884066} λ = 1.82884066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55210093589818))-π/2
    2×atan(0.211802522535369)-π/2
    2×0.208717955635304-π/2
    0.417435911270608-1.57079632675     		φ = -1.15336042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82884066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.784851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15336042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.082684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103687 KachelY 97914 1.82884066 -1.15336042 104.784851 -66.082684
    Oben rechts KachelX + 1 103688 KachelY 97914 1.82888859 -1.15336042 104.787597 -66.082684
    Unten links KachelX 103687 KachelY + 1 97915 1.82884066 -1.15337985 104.784851 -66.083798
    Unten rechts KachelX + 1 103688 KachelY + 1 97915 1.82888859 -1.15337985 104.787597 -66.083798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15336042--1.15337985) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15336042--1.15337985) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82884066-1.82888859) × cos(-1.15336042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405417870052613 × 6371000     		do = 123.799223797618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82884066-1.82888859) × cos(-1.15337985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.405400108401558 × 6371000     		du = 123.793800063796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15336042)-sin(-1.15337985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405417870052613-0.405400108401558)×R²
    abs(1.82888859-1.82884066)×1.77616510545486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77616510545486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77616510545486e-05×40589641000000     		ar = 15324.5882315437m²