Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10367 / 5761
↖ ↑ ↗
← N 75.137960°
W 66.104736°		 ← 313.34 m → N 75.137960°
W 66.093750°		 →
↑
313.39 m
↓
↑
313.39 m
↓
N 75.135142°
W 66.104736°		 ← 313.40 m →
98 207 m²		 N 75.135142°
W 66.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316390991210938 y=0.175827026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316390991210938 × 215)
    floor (0.316390991210938 × 32768)
    floor (10367.5)     		tx = 10367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175827026367188 × 215)
    floor (0.175827026367188 × 32768)
    floor (5761.5)     		ty = 5761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10367 / 5761 ti = "15/10367/5761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10367/5761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10367 ÷ 215
    10367 ÷ 32768     		x = 0.316375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5761 ÷ 215
    5761 ÷ 32768     		y = 0.175811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.316375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.36724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.15374530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175811767578125 × 2 - 1) × π
    0.64837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.03693473865543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15374530} λ = -1.15374530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03693473865543))-π/2
    2×atan(7.66707156471515)-π/2
    2×1.44110056267469-π/2
    2.88220112534939-1.57079632675     		φ = 1.31140480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15374530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -66.104736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31140480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.137960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10367 KachelY 5761 -1.15374530 1.31140480 -66.104736 75.137960
    Oben rechts KachelX + 1 10368 KachelY 5761 -1.15355355 1.31140480 -66.093750 75.137960
    Unten links KachelX 10367 KachelY + 1 5762 -1.15374530 1.31135561 -66.104736 75.135142
    Unten rechts KachelX + 1 10368 KachelY + 1 5762 -1.15355355 1.31135561 -66.093750 75.135142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31140480-1.31135561) × R
    4.91900000001433e-05 × 6371000     		dl = 313.389490000913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31140480-1.31135561) × R
    4.91900000001433e-05 × 6371000     		dr = 313.389490000913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15374530--1.15355355) × cos(1.31140480) × R
    0.000191749999999935 × 0.25649248193036 × 6371000     		do = 313.341283255938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15374530--1.15355355) × cos(1.31135561) × R
    0.000191749999999935 × 0.256540026028879 × 6371000     		du = 313.399364992794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31140480)-sin(1.31135561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25649248193036-0.256540026028879)×R²
    abs(-1.15355355--1.15374530)×4.75440985189257e-05×R²
    0.000191749999999935×4.75440985189257e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.75440985189257e-05×40589641000000     		ar = 98206.9660781253m²