Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10367 / 11905
↖ ↑ ↗
← S 62.925235°
E 47.790527°		 ← 1 112.06 m → S 62.925235°
E 47.812500°		 →
↑
1 111.87 m
↓
↑
1 111.87 m
↓
S 62.935235°
E 47.790527°		 ← 1 111.69 m →
1 236 257 m²		 S 62.935235°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632781982421875 y=0.726654052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632781982421875 × 214)
    floor (0.632781982421875 × 16384)
    floor (10367.5)     		tx = 10367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726654052734375 × 214)
    floor (0.726654052734375 × 16384)
    floor (11905.5)     		ty = 11905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10367 / 11905 ti = "14/10367/11905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10367/11905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10367 ÷ 214
    10367 ÷ 16384     		x = 0.63275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11905 ÷ 214
    11905 ÷ 16384     		y = 0.72662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.4532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42391766631415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83410205} λ = 0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42391766631415))-π/2
    2×atan(0.240768914542006)-π/2
    2×0.236271890954345-π/2
    0.472543781908691-1.57079632675     		φ = -1.09825254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09825254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.925235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10367 KachelY 11905 0.83410205 -1.09825254 47.790527 -62.925235
    Oben rechts KachelX + 1 10368 KachelY 11905 0.83448555 -1.09825254 47.812500 -62.925235
    Unten links KachelX 10367 KachelY + 1 11906 0.83410205 -1.09842706 47.790527 -62.935235
    Unten rechts KachelX + 1 10368 KachelY + 1 11906 0.83448555 -1.09842706 47.812500 -62.935235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09825254--1.09842706) × R
    0.000174519999999845 × 6371000     		dl = 1111.86691999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09825254--1.09842706) × R
    0.000174519999999845 × 6371000     		dr = 1111.86691999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83410205-0.83448555) × cos(-1.09825254) × R
    0.000383499999999981 × 0.455152777292286 × 6371000     		do = 1112.06499497348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83410205-0.83448555) × cos(-1.09842706) × R
    0.000383499999999981 × 0.454997375422371 × 6371000     		du = 1111.68530492585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09825254)-sin(-1.09842706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455152777292286-0.454997375422371)×R²
    abs(0.83448555-0.83410205)×0.000155401869915084×R²
    0.000383499999999981×0.000155401869915084×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155401869915084×40589641000000     		ar = 1236257.20153499m²