Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10366 / 5485
↖ ↑ ↗
← N 81.636546°
W123.057861°		 ← 88.84 m → N 81.636546°
W123.052368°		 →
↑
88.81 m
↓
↑
88.81 m
↓
N 81.635747°
W123.057861°		 ← 88.85 m →
7 890 m²		 N 81.635747°
W123.052368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158180236816406 y=0.0837020874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158180236816406 × 216)
    floor (0.158180236816406 × 65536)
    floor (10366.5)     		tx = 10366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0837020874023438 × 216)
    floor (0.0837020874023438 × 65536)
    floor (5485.5)     		ty = 5485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10366 / 5485 ti = "16/10366/5485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10366/5485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10366 ÷ 216
    10366 ÷ 65536     		x = 0.158172607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5485 ÷ 216
    5485 ÷ 65536     		y = 0.0836944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.68365478515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14776485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0836944580078125 × 2 - 1) × π
    0.832611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61572486466798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14776485} λ = -2.14776485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61572486466798))-π/2
    2×atan(13.677126851598)-π/2
    2×1.49781142424233-π/2
    2.99562284848466-1.57079632675     		φ = 1.42482652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14776485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.057861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42482652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.636546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10366 KachelY 5485 -2.14776485 1.42482652 -123.057861 81.636546
    Oben rechts KachelX + 1 10367 KachelY 5485 -2.14766898 1.42482652 -123.052368 81.636546
    Unten links KachelX 10366 KachelY + 1 5486 -2.14776485 1.42481258 -123.057861 81.635747
    Unten rechts KachelX + 1 10367 KachelY + 1 5486 -2.14766898 1.42481258 -123.052368 81.635747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42482652-1.42481258) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dl = 88.8117400006441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42482652-1.42481258) × R
    1.39400000001011e-05 × 6371000     		dr = 88.8117400006441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14776485--2.14766898) × cos(1.42482652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145451991161824 × 6371000     		do = 88.8402973237882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14776485--2.14766898) × cos(1.42481258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.145465782900124 × 6371000     		du = 88.848721148869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42482652)-sin(1.42481258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145451991161824-0.145465782900124)×R²
    abs(-2.14766898--2.14776485)×1.3791738300184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3791738300184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3791738300184e-05×40589641000000     		ar = 7890.43545501812m²