Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10366 / 2525
↖ ↑ ↗
← N 77.014755°
E 47.768555°		 ← 548.99 m → N 77.014755°
E 47.790527°		 →
↑
549.12 m
↓
↑
549.12 m
↓
N 77.009817°
E 47.768555°		 ← 549.20 m →
301 516 m²		 N 77.009817°
E 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632720947265625 y=0.154144287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632720947265625 × 214)
    floor (0.632720947265625 × 16384)
    floor (10366.5)     		tx = 10366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154144287109375 × 214)
    floor (0.154144287109375 × 16384)
    floor (2525.5)     		ty = 2525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10366 / 2525 ti = "14/10366/2525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10366/2525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10366 ÷ 214
    10366 ÷ 16384     		x = 0.6326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2525 ÷ 214
    2525 ÷ 16384     		y = 0.15411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6326904296875 × 2 - 1) × π
    0.265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83371856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15411376953125 × 2 - 1) × π
    0.6917724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17326728117487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83371856} λ = 0.83371856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17326728117487))-π/2
    2×atan(8.78694661615977)-π/2
    2×1.45747868881096-π/2
    2.91495737762192-1.57079632675     		φ = 1.34416105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83371856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.768555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34416105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.014755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10366 KachelY 2525 0.83371856 1.34416105 47.768555 77.014755
    Oben rechts KachelX + 1 10367 KachelY 2525 0.83410205 1.34416105 47.790527 77.014755
    Unten links KachelX 10366 KachelY + 1 2526 0.83371856 1.34407486 47.768555 77.009817
    Unten rechts KachelX + 1 10367 KachelY + 1 2526 0.83410205 1.34407486 47.790527 77.009817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34416105-1.34407486) × R
    8.6189999999986e-05 × 6371000     		dl = 549.116489999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34416105-1.34407486) × R
    8.6189999999986e-05 × 6371000     		dr = 549.116489999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83371856-0.83410205) × cos(1.34416105) × R
    0.000383490000000042 × 0.224700121296721 × 6371000     		do = 548.990659667002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83371856-0.83410205) × cos(1.34407486) × R
    0.000383490000000042 × 0.224784106408149 × 6371000     		du = 549.195853333384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34416105)-sin(1.34407486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224700121296721-0.224784106408149)×R²
    abs(0.83410205-0.83371856)×8.39851114285417e-05×R²
    0.000383490000000042×8.39851114285417e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.39851114285417e-05×40589641000000     		ar = 301516.161879516m²