Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103645 / 99163
↖ ↑ ↗
← S 67.435960°
E104.669495°		 ← 117.17 m → S 67.435960°
E104.672241°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
S 67.437014°
E104.669495°		 ← 117.17 m →
13 735 m²		 S 67.437014°
E104.672241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790752410888672 y=0.756557464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790752410888672 × 217)
    floor (0.790752410888672 × 131072)
    floor (103645.5)     		tx = 103645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756557464599609 × 217)
    floor (0.756557464599609 × 131072)
    floor (99163.5)     		ty = 99163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103645 / 99163 ti = "17/103645/99163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103645/99163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103645 ÷ 217
    103645 ÷ 131072     		x = 0.790748596191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99163 ÷ 217
    99163 ÷ 131072     		y = 0.756553649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790748596191406 × 2 - 1) × π
    0.581497192382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.82682731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756553649902344 × 2 - 1) × π
    -0.513107299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.61197412352363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82682731} λ = 1.82682731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61197412352363))-π/2
    2×atan(0.199493400475313)-π/2
    2×0.196908397500022-π/2
    0.393816795000044-1.57079632675     		φ = -1.17697953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82682731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.669495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17697953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.435960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103645 KachelY 99163 1.82682731 -1.17697953 104.669495 -67.435960
    Oben rechts KachelX + 1 103646 KachelY 99163 1.82687524 -1.17697953 104.672241 -67.435960
    Unten links KachelX 103645 KachelY + 1 99164 1.82682731 -1.17699793 104.669495 -67.437014
    Unten rechts KachelX + 1 103646 KachelY + 1 99164 1.82687524 -1.17699793 104.672241 -67.437014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17697953--1.17699793) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dl = 117.226399999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17697953--1.17699793) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dr = 117.226399999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82682731-1.82687524) × cos(-1.17697953) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.383715827209912 × 6371000     		do = 117.172243939477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82682731-1.82687524) × cos(-1.17699793) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.383698835642428 × 6371000     		du = 117.167055359937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17697953)-sin(-1.17699793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383715827209912-0.383698835642428)×R²
    abs(1.82687524-1.82682731)×1.69915674843035e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.69915674843035e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.69915674843035e-05×40589641000000     		ar = 13735.3762179659m²