Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103643 / 99162
↖ ↑ ↗
← S 67.434906°
E104.664001°		 ← 117.20 m → S 67.434906°
E104.666748°		 →
↑
117.16 m
↓
↑
117.16 m
↓
S 67.435960°
E104.664001°		 ← 117.20 m →
13 731 m²		 S 67.435960°
E104.666748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790737152099609 y=0.756549835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790737152099609 × 217)
    floor (0.790737152099609 × 131072)
    floor (103643.5)     		tx = 103643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756549835205078 × 217)
    floor (0.756549835205078 × 131072)
    floor (99162.5)     		ty = 99162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103643 / 99162 ti = "17/103643/99162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103643/99162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103643 ÷ 217
    103643 ÷ 131072     		x = 0.790733337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99162 ÷ 217
    99162 ÷ 131072     		y = 0.756546020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790733337402344 × 2 - 1) × π
    0.581466674804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.82673143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756546020507812 × 2 - 1) × π
    -0.513092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61192618662401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82673143} λ = 1.82673143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61192618662401))-π/2
    2×atan(0.199502963799643)-π/2
    2×0.196917594777096-π/2
    0.393835189554192-1.57079632675     		φ = -1.17696114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82673143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.664001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17696114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.434906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103643 KachelY 99162 1.82673143 -1.17696114 104.664001 -67.434906
    Oben rechts KachelX + 1 103644 KachelY 99162 1.82677937 -1.17696114 104.666748 -67.434906
    Unten links KachelX 103643 KachelY + 1 99163 1.82673143 -1.17697953 104.664001 -67.435960
    Unten rechts KachelX + 1 103644 KachelY + 1 99163 1.82677937 -1.17697953 104.666748 -67.435960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17696114--1.17697953) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dl = 117.162690000929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17696114--1.17697953) × R
    1.83900000001458e-05 × 6371000     		dr = 117.162690000929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82673143-1.82677937) × cos(-1.17696114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383732809413044 × 6371000     		do = 117.201877277181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82673143-1.82677937) × cos(-1.17697953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.383715827209912 × 6371000     		du = 117.196690475223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17696114)-sin(-1.17697953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383732809413044-0.383715827209912)×R²
    abs(1.82677937-1.82673143)×1.6982203132121e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6982203132121e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6982203132121e-05×40589641000000     		ar = 13731.3833656122m²