Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10364 / 2522
↖ ↑ ↗
← N 77.029559°
E 47.724610°		 ← 548.38 m → N 77.029559°
E 47.746582°		 →
↑
548.48 m
↓
↑
548.48 m
↓
N 77.024626°
E 47.724610°		 ← 548.58 m →
300 829 m²		 N 77.024626°
E 47.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632598876953125 y=0.153961181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632598876953125 × 214)
    floor (0.632598876953125 × 16384)
    floor (10364.5)     		tx = 10364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153961181640625 × 214)
    floor (0.153961181640625 × 16384)
    floor (2522.5)     		ty = 2522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10364 / 2522 ti = "14/10364/2522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10364/2522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10364 ÷ 214
    10364 ÷ 16384     		x = 0.632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2522 ÷ 214
    2522 ÷ 16384     		y = 0.1539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.632568359375 × 2 - 1) × π
    0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1539306640625 × 2 - 1) × π
    0.692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17441776676575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83295157} λ = 0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17441776676575))-π/2
    2×atan(8.79706168913665)-π/2
    2×1.4576078735092-π/2
    2.91521574701839-1.57079632675     		φ = 1.34441942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34441942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.029559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10364 KachelY 2522 0.83295157 1.34441942 47.724610 77.029559
    Oben rechts KachelX + 1 10365 KachelY 2522 0.83333506 1.34441942 47.746582 77.029559
    Unten links KachelX 10364 KachelY + 1 2523 0.83295157 1.34433333 47.724610 77.024626
    Unten rechts KachelX + 1 10365 KachelY + 1 2523 0.83333506 1.34433333 47.746582 77.024626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34441942-1.34433333) × R
    8.60899999999276e-05 × 6371000     		dl = 548.479389999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34441942-1.34433333) × R
    8.60899999999276e-05 × 6371000     		dr = 548.479389999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83295157-0.83333506) × cos(1.34441942) × R
    0.000383490000000042 × 0.224448350846732 × 6371000     		do = 548.375530379905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83295157-0.83333506) × cos(1.34433333) × R
    0.000383490000000042 × 0.224532243513454 × 6371000     		du = 548.580498184013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34441942)-sin(1.34433333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224448350846732-0.224532243513454)×R²
    abs(0.83333506-0.83295157)×8.38926667222906e-05×R²
    0.000383490000000042×8.38926667222906e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.38926667222906e-05×40589641000000     		ar = 300828.886887238m²