Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103632 / 97616
↖ ↑ ↗
← S 65.748683°
E104.633789°		 ← 125.42 m → S 65.748683°
E104.636535°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.749811°
E104.633789°		 ← 125.42 m →
15 726 m²		 S 65.749811°
E104.636535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790653228759766 y=0.744754791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790653228759766 × 217)
    floor (0.790653228759766 × 131072)
    floor (103632.5)     		tx = 103632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744754791259766 × 217)
    floor (0.744754791259766 × 131072)
    floor (97616.5)     		ty = 97616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103632 / 97616 ti = "17/103632/97616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103632/97616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103632 ÷ 217
    103632 ÷ 131072     		x = 0.7906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97616 ÷ 217
    97616 ÷ 131072     		y = 0.7447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7906494140625 × 2 - 1) × π
    0.581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.82620413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5378157398114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82620413} λ = 1.82620413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5378157398114))-π/2
    2×atan(0.214849877309885)-π/2
    2×0.211632665723307-π/2
    0.423265331446614-1.57079632675     		φ = -1.14753100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82620413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14753100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.748683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103632 KachelY 97616 1.82620413 -1.14753100 104.633789 -65.748683
    Oben rechts KachelX + 1 103633 KachelY 97616 1.82625206 -1.14753100 104.636535 -65.748683
    Unten links KachelX 103632 KachelY + 1 97617 1.82620413 -1.14755068 104.633789 -65.749811
    Unten rechts KachelX + 1 103633 KachelY + 1 97617 1.82625206 -1.14755068 104.636535 -65.749811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14753100--1.14755068) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dl = 125.381279999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14753100--1.14755068) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dr = 125.381279999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82620413-1.82625206) × cos(-1.14753100) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410739807701882 × 6371000     		do = 125.424341481733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82620413-1.82625206) × cos(-1.14755068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.410721864331102 × 6371000     		du = 125.418862257607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14753100)-sin(-1.14755068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410739807701882-0.410721864331102)×R²
    abs(1.82625206-1.82620413)×1.79433707799825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79433707799825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79433707799825e-05×40589641000000     		ar = 15725.5209823468m²