Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10363 / 6021
↖ ↑ ↗
← N 81.197218°
W123.074341°		 ← 93.47 m → N 81.197218°
W123.068848°		 →
↑
93.53 m
↓
↑
93.53 m
↓
N 81.196376°
W123.074341°		 ← 93.48 m →
8 742 m²		 N 81.196376°
W123.068848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158134460449219 y=0.0918807983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158134460449219 × 216)
    floor (0.158134460449219 × 65536)
    floor (10363.5)     		tx = 10363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0918807983398438 × 216)
    floor (0.0918807983398438 × 65536)
    floor (6021.5)     		ty = 6021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10363 / 6021 ti = "16/10363/6021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10363/6021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10363 ÷ 216
    10363 ÷ 65536     		x = 0.158126831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6021 ÷ 216
    6021 ÷ 65536     		y = 0.0918731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158126831054688 × 2 - 1) × π
    -0.683746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14805247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0918731689453125 × 2 - 1) × π
    0.816253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56433650827528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14805247} λ = -2.14805247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56433650827528))-π/2
    2×atan(12.9920354013769)-π/2
    2×1.49397755639293-π/2
    2.98795511278586-1.57079632675     		φ = 1.41715879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14805247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.074341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41715879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.197218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10363 KachelY 6021 -2.14805247 1.41715879 -123.074341 81.197218
    Oben rechts KachelX + 1 10364 KachelY 6021 -2.14795660 1.41715879 -123.068848 81.197218
    Unten links KachelX 10363 KachelY + 1 6022 -2.14805247 1.41714411 -123.074341 81.196376
    Unten rechts KachelX + 1 10364 KachelY + 1 6022 -2.14795660 1.41714411 -123.068848 81.196376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41715879-1.41714411) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dl = 93.5262800002845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41715879-1.41714411) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dr = 93.5262800002845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14805247--2.14795660) × cos(1.41715879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153033827062388 × 6371000     		do = 93.4711899659995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14805247--2.14795660) × cos(1.41714411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153048334129457 × 6371000     		du = 93.4800507051438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41715879)-sin(1.41714411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153033827062388-0.153048334129457)×R²
    abs(-2.14795660--2.14805247)×1.45070670689862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45070670689862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45070670689862e-05×40589641000000     		ar = 8742.42704108579m²