Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103626 / 99648
↖ ↑ ↗
← S 67.941650°
E104.617310°		 ← 114.68 m → S 67.941650°
E104.620056°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.942681°
E104.617310°		 ← 114.67 m →
13 151 m²		 S 67.942681°
E104.620056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790607452392578 y=0.760257720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790607452392578 × 217)
    floor (0.790607452392578 × 131072)
    floor (103626.5)     		tx = 103626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760257720947266 × 217)
    floor (0.760257720947266 × 131072)
    floor (99648.5)     		ty = 99648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103626 / 99648 ti = "17/103626/99648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103626/99648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103626 ÷ 217
    103626 ÷ 131072     		x = 0.790603637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99648 ÷ 217
    99648 ÷ 131072     		y = 0.76025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790603637695312 × 2 - 1) × π
    0.581207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.82591651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    -0.5205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63522351983936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82591651} λ = 1.82591651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63522351983936))-π/2
    2×atan(0.194908800446124)-π/2
    2×0.192495417229057-π/2
    0.384990834458114-1.57079632675     		φ = -1.18580549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82591651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.617310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18580549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.941650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103626 KachelY 99648 1.82591651 -1.18580549 104.617310 -67.941650
    Oben rechts KachelX + 1 103627 KachelY 99648 1.82596444 -1.18580549 104.620056 -67.941650
    Unten links KachelX 103626 KachelY + 1 99649 1.82591651 -1.18582349 104.617310 -67.942681
    Unten rechts KachelX + 1 103627 KachelY + 1 99649 1.82596444 -1.18582349 104.620056 -67.942681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18580549--1.18582349) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18580549--1.18582349) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82591651-1.82596444) × cos(-1.18580549) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.375550644287607 × 6371000     		do = 114.67890710701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82591651-1.82596444) × cos(-1.18582349) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.375533961793037 × 6371000     		du = 114.673812906603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18580549)-sin(-1.18582349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375550644287607-0.375533961793037)×R²
    abs(1.82596444-1.82591651)×1.66824945695976e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.66824945695976e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.66824945695976e-05×40589641000000     		ar = 13150.8556132422m²