Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103606 / 99458
↖ ↑ ↗
← S 67.744839°
E104.562378°		 ← 115.67 m → S 67.744839°
E104.565125°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.745880°
E104.562378°		 ← 115.67 m →
13 383 m²		 S 67.745880°
E104.565125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790454864501953 y=0.758808135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790454864501953 × 217)
    floor (0.790454864501953 × 131072)
    floor (103606.5)     		tx = 103606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758808135986328 × 217)
    floor (0.758808135986328 × 131072)
    floor (99458.5)     		ty = 99458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103606 / 99458 ti = "17/103606/99458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103606/99458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103606 ÷ 217
    103606 ÷ 131072     		x = 0.790451049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99458 ÷ 217
    99458 ÷ 131072     		y = 0.758804321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790451049804688 × 2 - 1) × π
    0.580902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.82495777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758804321289062 × 2 - 1) × π
    -0.517608642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62611550891154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82495777} λ = 1.82495777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62611550891154))-π/2
    2×atan(0.196692140944693)-π/2
    2×0.194212912314796-π/2
    0.388425824629592-1.57079632675     		φ = -1.18237050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82495777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.562378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18237050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.744839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103606 KachelY 99458 1.82495777 -1.18237050 104.562378 -67.744839
    Oben rechts KachelX + 1 103607 KachelY 99458 1.82500571 -1.18237050 104.565125 -67.744839
    Unten links KachelX 103606 KachelY + 1 99459 1.82495777 -1.18238866 104.562378 -67.745880
    Unten rechts KachelX + 1 103607 KachelY + 1 99459 1.82500571 -1.18238866 104.565125 -67.745880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18237050--1.18238866) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18237050--1.18238866) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82495777-1.82500571) × cos(-1.18237050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378731977607902 × 6371000     		do = 115.674494522481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82495777-1.82500571) × cos(-1.18238866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3787151703493 × 6371000     		du = 115.669361153085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18237050)-sin(-1.18238866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378731977607902-0.3787151703493)×R²
    abs(1.82500571-1.82495777)×1.68072586015366e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68072586015366e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68072586015366e-05×40589641000000     		ar = 13382.9366773311m²