Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103604 / 98936
↖ ↑ ↗
← S 67.195517°
E104.556884°		 ← 118.38 m → S 67.195517°
E104.559631°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
S 67.196582°
E104.556884°		 ← 118.37 m →
14 013 m²		 S 67.196582°
E104.559631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790439605712891 y=0.754825592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790439605712891 × 217)
    floor (0.790439605712891 × 131072)
    floor (103604.5)     		tx = 103604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754825592041016 × 217)
    floor (0.754825592041016 × 131072)
    floor (98936.5)     		ty = 98936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103604 / 98936 ti = "17/103604/98936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103604/98936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103604 ÷ 217
    103604 ÷ 131072     		x = 0.790435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98936 ÷ 217
    98936 ÷ 131072     		y = 0.75482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790435791015625 × 2 - 1) × π
    0.58087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.82486189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.5096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60109244730988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82486189} λ = 1.82486189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60109244730988))-π/2
    2×atan(0.201676077118643)-π/2
    2×0.199006651778369-π/2
    0.398013303556739-1.57079632675     		φ = -1.17278302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82486189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.556884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17278302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.195517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103604 KachelY 98936 1.82486189 -1.17278302 104.556884 -67.195517
    Oben rechts KachelX + 1 103605 KachelY 98936 1.82490983 -1.17278302 104.559631 -67.195517
    Unten links KachelX 103604 KachelY + 1 98937 1.82486189 -1.17280160 104.556884 -67.196582
    Unten rechts KachelX + 1 103605 KachelY + 1 98937 1.82490983 -1.17280160 104.559631 -67.196582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17278302--1.17280160) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17278302--1.17280160) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82486189-1.82490983) × cos(-1.17278302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387587709387021 × 6371000     		do = 118.379262954358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82486189-1.82490983) × cos(-1.17280160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387570581666129 × 6371000     		du = 118.37403170753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17278302)-sin(-1.17280160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387587709387021-0.387570581666129)×R²
    abs(1.82490983-1.82486189)×1.71277208920739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71277208920739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71277208920739e-05×40589641000000     		ar = 14012.620182745m²