Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 103600 / 98928
↖ ↑ ↗
← S 67.187000°
E104.545899°		 ← 118.40 m → S 67.187000°
E104.548645°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
S 67.188064°
E104.545899°		 ← 118.39 m →
14 015 m²		 S 67.188064°
E104.548645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790409088134766 y=0.754764556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790409088134766 × 217)
    floor (0.790409088134766 × 131072)
    floor (103600.5)     		tx = 103600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754764556884766 × 217)
    floor (0.754764556884766 × 131072)
    floor (98928.5)     		ty = 98928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103600 / 98928 ti = "17/103600/98928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103600/98928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103600 ÷ 217
    103600 ÷ 131072     		x = 0.7904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98928 ÷ 217
    98928 ÷ 131072     		y = 0.7547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7904052734375 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82467015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60070895211291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82467015} λ = 1.82467015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60070895211291))-π/2
    2×atan(0.201753433757562)-π/2
    2×0.199080983928118-π/2
    0.398161967856237-1.57079632675     		φ = -1.17263436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82467015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.545899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17263436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.187000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103600 KachelY 98928 1.82467015 -1.17263436 104.545899 -67.187000
    Oben rechts KachelX + 1 103601 KachelY 98928 1.82471808 -1.17263436 104.548645 -67.187000
    Unten links KachelX 103600 KachelY + 1 98929 1.82467015 -1.17265294 104.545899 -67.188064
    Unten rechts KachelX + 1 103601 KachelY + 1 98929 1.82471808 -1.17265294 104.548645 -67.188064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17263436--1.17265294) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17263436--1.17265294) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82467015-1.82471808) × cos(-1.17263436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.387724744772306 × 6371000     		do = 118.396415144976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82467015-1.82471808) × cos(-1.17265294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.387707618122136 × 6371000     		du = 118.391185316313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17263436)-sin(-1.17265294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387724744772306-0.387707618122136)×R²
    abs(1.82471808-1.82467015)×1.71266501693967e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71266501693967e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71266501693967e-05×40589641000000     		ar = 14014.6506260566m²