Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103599 / 98929
↖ ↑ ↗
← S 67.188064°
E104.543152°		 ← 118.42 m → S 67.188064°
E104.545899°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
S 67.189129°
E104.543152°		 ← 118.41 m →
14 024 m²		 S 67.189129°
E104.545899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790401458740234 y=0.754772186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790401458740234 × 217)
    floor (0.790401458740234 × 131072)
    floor (103599.5)     		tx = 103599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754772186279297 × 217)
    floor (0.754772186279297 × 131072)
    floor (98929.5)     		ty = 98929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103599 / 98929 ti = "17/103599/98929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103599/98929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103599 ÷ 217
    103599 ÷ 131072     		x = 0.790397644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98929 ÷ 217
    98929 ÷ 131072     		y = 0.754768371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790397644042969 × 2 - 1) × π
    0.580795288085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.82462221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754768371582031 × 2 - 1) × π
    -0.509536743164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.60075688901254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82462221} λ = 1.82462221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60075688901254))-π/2
    2×atan(0.201743762555266)-π/2
    2×0.199071690972326-π/2
    0.398143381944652-1.57079632675     		φ = -1.17265294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82462221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.543152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17265294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.188064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103599 KachelY 98929 1.82462221 -1.17265294 104.543152 -67.188064
    Oben rechts KachelX + 1 103600 KachelY 98929 1.82467015 -1.17265294 104.545899 -67.188064
    Unten links KachelX 103599 KachelY + 1 98930 1.82462221 -1.17267153 104.543152 -67.189129
    Unten rechts KachelX + 1 103600 KachelY + 1 98930 1.82467015 -1.17267153 104.545899 -67.189129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17265294--1.17267153) × R
    1.85899999998185e-05 × 6371000     		dl = 118.436889998843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17265294--1.17267153) × R
    1.85899999998185e-05 × 6371000     		dr = 118.436889998843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82462221-1.82467015) × cos(-1.17265294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387707618122136 × 6371000     		do = 118.415886168513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82462221-1.82467015) × cos(-1.17267153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387690482120228 × 6371000     		du = 118.41065239245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17265294)-sin(-1.17267153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387707618122136-0.387690482120228)×R²
    abs(1.82467015-1.82462221)×1.71360019082245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71360019082245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71360019082245e-05×40589641000000     		ar = 14024.4993485479m²