Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103598 / 98927
↖ ↑ ↗
← S 67.185935°
E104.540405°		 ← 118.43 m → S 67.185935°
E104.543152°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
S 67.187000°
E104.540405°		 ← 118.42 m →
14 026 m²		 S 67.187000°
E104.543152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790393829345703 y=0.754756927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790393829345703 × 217)
    floor (0.790393829345703 × 131072)
    floor (103598.5)     		tx = 103598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754756927490234 × 217)
    floor (0.754756927490234 × 131072)
    floor (98927.5)     		ty = 98927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103598 / 98927 ti = "17/103598/98927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103598/98927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103598 ÷ 217
    103598 ÷ 131072     		x = 0.790390014648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98927 ÷ 217
    98927 ÷ 131072     		y = 0.754753112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790390014648438 × 2 - 1) × π
    0.580780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82457427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754753112792969 × 2 - 1) × π
    -0.509506225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60066101521329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82457427} λ = 1.82457427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60066101521329))-π/2
    2×atan(0.201763105423477)-π/2
    2×0.199090277294548-π/2
    0.398180554589096-1.57079632675     		φ = -1.17261577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82457427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17261577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.185935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103598 KachelY 98927 1.82457427 -1.17261577 104.540405 -67.185935
    Oben rechts KachelX + 1 103599 KachelY 98927 1.82462221 -1.17261577 104.543152 -67.185935
    Unten links KachelX 103598 KachelY + 1 98928 1.82457427 -1.17263436 104.540405 -67.187000
    Unten rechts KachelX + 1 103599 KachelY + 1 98928 1.82462221 -1.17263436 104.543152 -67.187000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17261577--1.17263436) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17261577--1.17263436) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82457427-1.82462221) × cos(-1.17261577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387741880506306 × 6371000     		do = 118.426350782552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82457427-1.82462221) × cos(-1.17263436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387724744772306 × 6371000     		du = 118.421117088315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17261577)-sin(-1.17263436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387741880506306-0.387724744772306)×R²
    abs(1.82462221-1.82457427)×1.71357340003064e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71357340003064e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71357340003064e-05×40589641000000     		ar = 14025.7387498645m²