Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103596 / 98930
↖ ↑ ↗
← S 67.189129°
E104.534912°		 ← 118.41 m → S 67.189129°
E104.537659°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
S 67.190194°
E104.534912°		 ← 118.41 m →
14 016 m²		 S 67.190194°
E104.537659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790378570556641 y=0.754779815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790378570556641 × 217)
    floor (0.790378570556641 × 131072)
    floor (103596.5)     		tx = 103596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754779815673828 × 217)
    floor (0.754779815673828 × 131072)
    floor (98930.5)     		ty = 98930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103596 / 98930 ti = "17/103596/98930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103596/98930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103596 ÷ 217
    103596 ÷ 131072     		x = 0.790374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98930 ÷ 217
    98930 ÷ 131072     		y = 0.754776000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790374755859375 × 2 - 1) × π
    0.58074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82447840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754776000976562 × 2 - 1) × π
    -0.509552001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60080482591216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82447840} λ = 1.82447840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60080482591216))-π/2
    2×atan(0.201734091816565)-π/2
    2×0.199062398427156-π/2
    0.398124796854312-1.57079632675     		φ = -1.17267153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82447840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.534912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17267153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.189129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103596 KachelY 98930 1.82447840 -1.17267153 104.534912 -67.189129
    Oben rechts KachelX + 1 103597 KachelY 98930 1.82452634 -1.17267153 104.537659 -67.189129
    Unten links KachelX 103596 KachelY + 1 98931 1.82447840 -1.17269011 104.534912 -67.190194
    Unten rechts KachelX + 1 103597 KachelY + 1 98931 1.82452634 -1.17269011 104.537659 -67.190194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17267153--1.17269011) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17267153--1.17269011) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82447840-1.82452634) × cos(-1.17267153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387690482120228 × 6371000     		do = 118.41065239245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82447840-1.82452634) × cos(-1.17269011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.387673355202306 × 6371000     		du = 118.40542139087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17267153)-sin(-1.17269011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387690482120228-0.387673355202306)×R²
    abs(1.82452634-1.82447840)×1.71269179215505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71269179215505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71269179215505e-05×40589641000000     		ar = 14016.335864922m²