Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103593 / 99461
↖ ↑ ↗
← S 67.747960°
E104.526672°		 ← 115.66 m → S 67.747960°
E104.529419°		 →
↑
115.70 m
↓
↑
115.70 m
↓
S 67.749000°
E104.526672°		 ← 115.65 m →
13 381 m²		 S 67.749000°
E104.529419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790355682373047 y=0.758831024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790355682373047 × 217)
    floor (0.790355682373047 × 131072)
    floor (103593.5)     		tx = 103593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758831024169922 × 217)
    floor (0.758831024169922 × 131072)
    floor (99461.5)     		ty = 99461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103593 / 99461 ti = "17/103593/99461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103593/99461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103593 ÷ 217
    103593 ÷ 131072     		x = 0.790351867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99461 ÷ 217
    99461 ÷ 131072     		y = 0.758827209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790351867675781 × 2 - 1) × π
    0.580703735351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.82433459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758827209472656 × 2 - 1) × π
    -0.517654418945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6262593196104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82433459} λ = 1.82433459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6262593196104))-π/2
    2×atan(0.196663856544292)-π/2
    2×0.194185681271999-π/2
    0.388371362543997-1.57079632675     		φ = -1.18242496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82433459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.526672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18242496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.747960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103593 KachelY 99461 1.82433459 -1.18242496 104.526672 -67.747960
    Oben rechts KachelX + 1 103594 KachelY 99461 1.82438253 -1.18242496 104.529419 -67.747960
    Unten links KachelX 103593 KachelY + 1 99462 1.82433459 -1.18244312 104.526672 -67.749000
    Unten rechts KachelX + 1 103594 KachelY + 1 99462 1.82438253 -1.18244312 104.529419 -67.749000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18242496--1.18244312) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dl = 115.697359999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18242496--1.18244312) × R
    1.81599999999893e-05 × 6371000     		dr = 115.697359999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82433459-1.82438253) × cos(-1.18242496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378681573967959 × 6371000     		do = 115.659099953453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82433459-1.82438253) × cos(-1.18244312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378664766334827 × 6371000     		du = 115.653966469666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18242496)-sin(-1.18244312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378681573967959-0.378664766334827)×R²
    abs(1.82438253-1.82433459)×1.68076331318323e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68076331318323e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68076331318323e-05×40589641000000     		ar = 13381.1555597702m²