Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103577 / 98377
↖ ↑ ↗
← S 66.593039°
E104.482727°		 ← 121.33 m → S 66.593039°
E104.485474°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.594130°
E104.482727°		 ← 121.33 m →
14 718 m²		 S 66.594130°
E104.485474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790233612060547 y=0.750560760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790233612060547 × 217)
    floor (0.790233612060547 × 131072)
    floor (103577.5)     		tx = 103577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750560760498047 × 217)
    floor (0.750560760498047 × 131072)
    floor (98377.5)     		ty = 98377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103577 / 98377 ti = "17/103577/98377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103577/98377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103577 ÷ 217
    103577 ÷ 131072     		x = 0.790229797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98377 ÷ 217
    98377 ÷ 131072     		y = 0.750556945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790229797363281 × 2 - 1) × π
    0.580459594726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.82356760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750556945800781 × 2 - 1) × π
    -0.501113891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.57429572042226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82356760} λ = 1.82356760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57429572042226))-π/2
    2×atan(0.207153395223877)-π/2
    2×0.204264267360078-π/2
    0.408528534720156-1.57079632675     		φ = -1.16226779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82356760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.482727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16226779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.593039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103577 KachelY 98377 1.82356760 -1.16226779 104.482727 -66.593039
    Oben rechts KachelX + 1 103578 KachelY 98377 1.82361554 -1.16226779 104.485474 -66.593039
    Unten links KachelX 103577 KachelY + 1 98378 1.82356760 -1.16228683 104.482727 -66.594130
    Unten rechts KachelX + 1 103578 KachelY + 1 98378 1.82361554 -1.16228683 104.485474 -66.594130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16226779--1.16228683) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16226779--1.16228683) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82356760-1.82361554) × cos(-1.16226779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397259387390837 × 6371000     		do = 121.333242365714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82356760-1.82361554) × cos(-1.16228683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397241914189571 × 6371000     		du = 121.327905600287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16226779)-sin(-1.16228683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397259387390837-0.397241914189571)×R²
    abs(1.82361554-1.82356760)×1.7473201266327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7473201266327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7473201266327e-05×40589641000000     		ar = 14717.8645340292m²