Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 103575 / 98363
↖ ↑ ↗
← S 66.577759°
E104.477234°		 ← 121.41 m → S 66.577759°
E104.479980°		 →
↑
121.43 m
↓
↑
121.43 m
↓
S 66.578851°
E104.477234°		 ← 121.40 m →
14 742 m²		 S 66.578851°
E104.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 103575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790218353271484 y=0.750453948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790218353271484 × 217)
    floor (0.790218353271484 × 131072)
    floor (103575.5)     		tx = 103575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750453948974609 × 217)
    floor (0.750453948974609 × 131072)
    floor (98363.5)     		ty = 98363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 103575 / 98363 ti = "17/103575/98363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/103575/98363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 103575 ÷ 217
    103575 ÷ 131072     		x = 0.790214538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98363 ÷ 217
    98363 ÷ 131072     		y = 0.750450134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790214538574219 × 2 - 1) × π
    0.580429077148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.82347172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750450134277344 × 2 - 1) × π
    -0.500900268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57362460382758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82347172} λ = 1.82347172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57362460382758))-π/2
    2×atan(0.207292465966178)-π/2
    2×0.20439761209999-π/2
    0.408795224199981-1.57079632675     		φ = -1.16200110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82347172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.477234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16200110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.577759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 103575 KachelY 98363 1.82347172 -1.16200110 104.477234 -66.577759
    Oben rechts KachelX + 1 103576 KachelY 98363 1.82351966 -1.16200110 104.479980 -66.577759
    Unten links KachelX 103575 KachelY + 1 98364 1.82347172 -1.16202016 104.477234 -66.578851
    Unten rechts KachelX + 1 103576 KachelY + 1 98364 1.82351966 -1.16202016 104.479980 -66.578851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16200110--1.16202016) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dl = 121.43126000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16200110--1.16202016) × R
    1.90600000000707e-05 × 6371000     		dr = 121.43126000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82347172-1.82351966) × cos(-1.16200110) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397504116372151 × 6371000     		do = 121.407988896493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82347172-1.82351966) × cos(-1.16202016) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.397486626836498 × 6371000     		du = 121.402647142124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16200110)-sin(-1.16202016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397504116372151-0.397486626836498)×R²
    abs(1.82351966-1.82347172)×1.74895356538363e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74895356538363e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74895356538363e-05×40589641000000     		ar = 14742.4007383115m²